使用 Eigen 实现 3D 位置的卡尔曼滤波器

Question

我使用 C++ 中的 Eigen 库编写了一个卡尔曼滤波器实现，并使用此 link 的实现来测试我的滤波器：我的预测步骤如下所示：

void KalmanFilter::Predict()
{
    // state Estimate = state transition matrix * previous state
    // No control input present.
    x = A * x;


   // State Covariance Matrix = (State Transition Matrix * Previous State 
   Covariance matrix * (State Transition Matrix)^T ) + Process Noise

   P = A * P * A.transpose() + Q;
}

而我的更新步骤是：

void KalmanFilter::Update(VectorXd z)
{
    //Kalman Gain = (State Covariance Matrix * Measurement matrix.transpose) * (H*P*H^T + Measurement Noise)^-1
    K = (P * H.transpose()) * (H * P * H.transpose()+ R).inverse();

    //Estimated Stated = Estimated state + Kalman Gain (Measurement Innovation)
    x = x + K*(z - H * x);

   //State Covariance matrix = (Identity Matrix of the size of  x.size * x.size) - K* H * P;
    long x_size = x.size();
    MatrixXd I = MatrixXd::Identity(x_size, x_size);
    P = (I - K * H) * P ;

}

我的初始值是：

pos_x = 0.0;
pos_y = 0.0;
pos_z = 1.0;
vel_x = 10.0;
vel_y = 0.0;
vel_z = 0.0;
acc_x = 0.0;
acc_y = 0.0;
acc_z = -9.81;

我通过循环执行以下操作来生成“假数据”：

double c = 0.1; // Drag resistance coefficient
double damping = 0.9 ; // Damping

double sigma_position = 0.1 ; // position_noise

// Create simulated position data
for (int i = 0; i < N; i ++)
{
    acc_x = -c * pow(vel_x, 2);  // calculate acceleration ( Drag Resistance)

    vel_x += acc_x * dt;  // Integrate acceleration to give you velocity in the x axis.

    pos_x += vel_x * dt; // Integrate velocity to return the position in the x axis

    acc_z = -9.806 + c * pow(vel_z, 2); // Gravitation + Drag

    vel_z += acc_z * dt;   // z axis velocity

    pos_z += vel_z * dt;  // position in z axis

    // generate y position here later.

    if(pos_z < 0.01)
    {
        vel_z = -vel_z * damping;
        pos_z += vel_z * dt;
    }

    if (vel_x < 0.1)
    {
        acc_x = 0.0;
        acc_z = 0.0;
    }

    // add some noise
    pos_x = pos_x + sigma_position * process_noise(generator); 
    pos_y = pos_y + sigma_position * process_noise(generator);
    pos_z = pos_z + sigma_position * process_noise(generator);

然后我运行我的预测并逐步更新：

// Prediction Step
kalmanFilter.Predict();

// Correction Step
kalmanFilter.Update(z);

其中 z 是一个 3 x 1 向量，包含 pos_x, pos_y and pos_z

我的状态转换矩阵A 如下所示：

A <<    1, 0, 0, dt, 0, 0, dt_squared, 0 , 0,
        0, 1, 0, 0,  dt, 0, 0, dt_squared, 0,
        0, 0, 1, 0, 0, dt, 0, 0, dt_squared,
        0, 0, 0, 1, 0, 0, dt, 0, 0,
        0, 0, 0, 0, 1, 0, 0 , dt, 0,
        0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, dt,
        0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0,
        0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0,
        0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1;

dt_squared 是 (dt * dt) /2;

P is  

P<< 100, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
            0, 100, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
            0, 0, 100, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
            0, 0, 0, 100, 0, 0, 0, 0, 0,
            0, 0, 0, 0, 100, 0, 0, 0, 0,
            0, 0, 0, 0, 0, 100, 0, 0, 0,
            0, 0, 0, 0, 0, 0, 100, 0, 0,
            0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 100, 0,
            0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 100;

和

   R << 1, 0, 0,
         0, 1, 0,
         0, 0, 1;

和

Q = G * G.transpose()* a * a;  

G 是一个 9 x 1 的矩阵

G << dt_squared, dt_squared, dt_squared, dt, dt, dt, 1, 1, 1;

a =  0.1 //( acceleration process noise)

我的问题是我对 y 和 z 的估计位置偏离了“真实”位置。如果你看下面的图表，

这是 pos_x 的样子：

这是 pos_y 的样子：

最后是 Z：

这是我第一次尝试使用卡尔曼滤波器，我不确定我在这里做错了什么。我的最终目标是用它来估计无人机的位置。此外，我还有以下问题：

例如，在无人机的现实生活中，如果您不能直接观察过程，您如何选择过程噪声？您只是选择任意值吗？

对于这篇长篇文章，我深表歉意。任何帮助表示赞赏。

Answer 1

我不确定这是代码相关问题、算法实现问题还是预期问题。

您确实意识到，如果虚假数据中有太多操纵，像这样的过滤器将无法再现真实数据，甚至任何接近真实数据的数据。

另外，您的图表不存在。

我知道我的回复不符合社区标准，但我不能发表评论，否则我会这样做。

在您提供绘图并根据更新率检查路径曲率之前，我不会尝试详细说明。过滤器也需要针对特定​​系统进行“调整”。您可能需要使用噪声参数来更好地调整它。对于操纵轨道，可能需要使用更高阶的过滤器、Singer 或 Jerk 过滤器……过滤器需要对系统进行足够好的建模。根据您的更新矩阵，您似乎有一个抛物线（二阶）估计。您可能还想在其他非软件或代码特定的论坛中询问此问题。

Answer 2

每个系统都有差异。假设过滤器的方差为 +-1%，而实际值的方差为 +-5%；如果您预测一个值，您必须选择更新以使用预测值或测量值。取决于你更相信哪一个。 否则，您的过滤器确实总是根据自己的值开发......