在矩阵中找到最大的连接树

Question

假设我有一个矩阵 MxN，填充了 0 到 5 之间的值。我现在想确定该矩阵中最大的连接树，其中矩阵的值被视为节点。如果一对节点水平或垂直相邻，并且两个节点的值相同，则称这对节点是连接的。树的大小等于树中的节点。

一个例子：

1 0 3 0 0              2 2 0 0 0 0 0
1 1 2 2 2              0 2 0 0 0 0 0
0 1 0 3 0              0 2 0 0 0 0 2
3 1 0 3 0              0 2 0 2 2 2 2
                       0 0 0 0 0 0 0
                       3 0 0 3 3 0 0
                       3 3 3 3 0 0 0

在左侧，左侧的 1 节点形成最大的树。在右侧，3 节点构成最大的树，而另外两棵由 2 节点组成的树。

我知道我可能会做一个简单的深度优先搜索，但我想知道我是否缺少一些众所周知的东西，也许是在图论领域（比如 Kruskal 的最小生成树算法，但是对于这个例子）。

Answer 1

您正在寻找不相交集，因此我建议使用不相交集数据结构和查找/联合算法：

见http://en.wikipedia.org/wiki/Disjoint-set_data_structure#Disjoint-set_forests

联合运算是对称的，因此您实际上只需要将矩阵的每个元素与其右侧的邻居和下面的邻居进行比较，当比较的元素具有相同的值时，应用联合运算。

使用查找操作再次扫描每个元素以计算每个集合的大小，并跟踪最大的集合。您将需要存储空间来进行计数。

计算复杂度为 O(MN A^-1(MN,MN)) 其中 A^-1 是逆阿克曼函数，可以认为是一个小的对于 MN 的任何有用值，常数 (

Answer 2

实际上，您正在寻找的是 Connected 组件。 连接组件是一组节点，您可以在其中从任何节点移动到该组件内的任何其他节点。

连通分量通常适用于图。可以使用BFS/DFS 找到连接的组件，并且从算法复杂性的角度来看，给定邻接矩阵输入，没有更好的方法可以做到这一点。该算法的运行时间为O(N^2)，其中N是图中的节点数。

在您的情况下，图表具有更多约束，例如每个节点最多可以与 4 个其他节点相邻。使用BFS/DFS，这将为您提供O(4N) = O(N) 的运行时间，其中N 是节点数。不可能有更复杂的算法，因为在最坏的情况下您需要至少考虑每个节点一次。