删除最小数量的顶点以使所有顶点隔离答案

【问题标题】：Remove minimum number of vertices to make all the vertices isolated删除最小数量的顶点以使所有顶点隔离
【发布时间】：2015-09-06 01:31:00
【问题描述】：

我有一个无向连通图，我想通过删除不是边而是顶点来隔离它的所有顶点，我想将我删除的顶点数量保持在最低限度。我知道要实现这一点，我必须每次都删除度数最高的顶点，直到图形断开连接。但是我需要为它编写一个Java程序，我不知道如何跟踪最高度的顶点以及使用哪种数据结构。我得到以下输入。

{V, E}：分别为顶点和边的数量。
{A - B}：指定边的顶点对

示例输入：

4 2
1-2
3-4

示例输出：2（即需要移除以使顶点隔离的最小顶点数）

约束：

1 <= V <= 10^5
1 <= E <= 3 * 10^5

【问题讨论】：

到目前为止你做了什么？您是否有需要使用的特定运行时间或空间？

标签： graph

【解决方案1】：

我赞同贪心算法在这里并不总是最优的想法，即使任务是隔离顶点，而不是断开图。

这里的问题是Vertex cover 问题，它是NP-hard。

举个简单的反例，看看这张取自here的图表：

贪心算法将从根开始，但这需要 4 个顶点而不是最优的 3 个。

【讨论】：

【解决方案2】：

我将从以下 DS 开始：

class Node
{
    int ID;
    int NumberOfNeighbors;
    List<int> NeighborIDs;
}

然后您继续将所有Nodes 保存在最大堆中（其中键为NumberOfNeighbors）。

你的算法应该是这样的：

int numberOfDeletedNodes = 0;

While (!heap.Empty)
{
    node = heap.PopTop();
    foreach (int ID in node.NeighborIDs)
    {
        tempNode = heap.Extract(ID);
        tempNode.NumberOfNeighbors--;
        tempNode.NeighborIDs.Remove(node.ID);
        if (tempNode.NumberOfNeighbors != 0)
            heap.Insert(tempNode);
    }

    numberOfDeletedNodes++;   
}

我可能错过了一些最终情况或其他东西，但总体思路是删除具有最多邻居的节点，照顾所有邻居*，然后继续直到堆为空。

* Important: if the neighbors has no more neighbors of its own, it doesn't go back in.

【讨论】：

如您所说，您错过了一些案例。我真的没有一个简单的小反例，但我偶然发现一个是[(21, 23), (19, 23), (19, 20), (17, 23), (17, 20), (17, 18), (11, 13), (11, 18), (11, 16), (13, 18), (13, 16), (4, 18), (4, 16), (3, 18), (3, 16), (2, 16)]，其中一个数字表示许多（未连接）顶点的集合，而形式为(n, m) 的边表示每个n 顶点连接到所有m 顶点。在第一步中，您的算法将删除 17 个顶点组，尽管在最优解中并未删除。
对于图 {0=[1, 2], 1=[0, 2, 3], 2=[0, 1, 3], 3=[1, 2, 4, 5 ], 4=[3, 5, 6], 5=[3, 4, 6], 6=[4, 5]}，该算法将给出 5 作为答案，但最小值为 4。请参阅@kitsune 的答案了解原因。