给定一个数组，找出具有 m 个奇数的子数组的数量？

Question

示例输入： 1 2 3 4 5（数组元素） m = 1（奇数） 样本输出： 8。 子数组是 [[1], [1,2], [2,3], [2,3,4], [3], [3,4], [4,5], [5]]

这是我的实现。在最坏的情况下，需要 O(n+n^2)。有什么方法可以优化这段代码吗？

int main() {
    int n, *a, count1=0, m, *dp;
    cin>>n;
    a = new int[n];
    dp =new int[n];

    for(int i=0; i<n; i++) {
        cin >> a[i];
    }

    cin >> m;

    for(int i=0; i<n; i++){
        if(a[i]%2==1) {
            count1++;
        }

        dp[i] =count1;
    }

    int prev;
    long count=0;

    for(int i=0; i<n; i++) {
        prev= i==0 ? 0:dp[i-1];
        for(int j=i; j<n; j++) {
            if((dp[j] - prev) == m){
                count++;
            }

            if(dp[j] - prev > m){
                break;
            }
        }
    }
    cout<<count;
}

Answer 1

这可以在O(n) 中解决。首先生成一个奇数之间间隙长度的数组，将两端计算为隐式奇数。在这种情况下，该数组是g = [0,1,1,0]。然后我们对(g[i]+1)*(g[i+m]+1) 求和，因为这表示有多少子数组从i'th 奇数开始或之前，并在i+m'th 奇数之后或之后结束。

在这种情况下，我们得到1*2 + 2*2 + 2*1 = 8。

其他解释 想想想要的子数组列表。每个都从某个地方开始，包括m 奇数，然后在其他地方结束。让我们根据它们包含的奇数串将它们分组。每个组包含一些i 的ith 奇数，并以i+m-1'th 奇数结束。起点是i-1th 和ith 奇数之间的每个偶数，以及ith 奇数本身。这是ith 奇数 + 1 之前的差距大小。或g(i)+1 在我的计算中。类似地，终点在i+m-1th 奇数，或者在它与i+mth 奇数之间的所有偶数处。这比i+m-1th 和i+mth 奇数之间的差距大1。在我的计算中是g(i+m)+1。因此，该组中的数字是起点数乘以终点数。这是(g(i)+1)*(g(i+m)+1)。将其添加到所有起点i，我们就有了答案。

我忽略了一个重要的细节。也就是说，我假设包含奇数，所以0 < m。如果m = 0 则计算完全改变。答案是1 + sum(g(i)*(g(i)-1)/2)。

Answer 2

你可以很容易地得到 O(n log n)。对您的代码的一个简单改进是，在您的内部循环中（在 j 上），而不是一个接一个地计数，您在区间 [i, n] 上进行二进制搜索以找到导致 m 奇数的第一个位置，以及产生 m+1 个奇数的第一个位置；然后减去它们。

但是，要做到这一点，您需要一个 sum[] 数组，其中第 i 个位置显示区间 [0, i] 中奇数的个数。这可以用一个 for 循环在 O(n) 中预先计算。

现在你在二分搜索中像这样使用它：

for(int i = 0; i < n; i++){
    int lo = i;
    int hi = n;

    while(lo < hi){
        int mid = (lo + hi)/2;
        int count = sum[mid];
        if(i > 0) count -= sum[i - 1];

        //count shows number of odd in the interval [i, mid]
        if(mid >= m){
            hi = mid;
        } 
        else{
            lo = mid + 1;
        }
    }

    int first_with_m = lo;

    //do another binary search to find first_with_m_plus_one

    answer += first_with_m_plus_one - first_with_m;
}