确保集合新颖性的有效方法

Question

给定集合N = {1,...,n}，考虑P 的不同预先存在的N 子集。子集S_p 的特征在于 0-1 n 向量 x_p 其中 ith 元素是 0 或 1，具体取决于 ith（n）项是否属于子集与否。让我们称之为x_ps 指标向量。

例如，如果N={1,2,3,4,5}，则子集{1,2,5}由向量(1,0,0,1,1)表示。

现在，给定 P 预先存在的子集及其关联向量 x_ps。

计算由向量y表示的候选子集​​。

检查y 是否已经是P 预先存在的子集的一部分或者y 是否确实是一个新的子集而不是P 子集的一部分的最有效方法是什么？

以下是我能想到的方法：

（方法1）基本上，我们必须对所有预先存在的集合进行逐个元素的检查。伪代码如下：

for(int p = 0; p < P; p++){
     //(check if x_p == y by doing an element by element comparison)
     int i;
     for(i = 0; i < n; i++){
         if(x_pi != y_i){
             i = 999999;
         }             
     }
     if(i < 999999)
          return that y is pre-existing

}
return that y is new

（方法 2）想到的另一个想法是存储指标向量 x_ps 的十进制等效值（其中指标向量被视为二进制表示）并将其与 y 的十进制等效值进行比较.也就是说，如果一组P 预先存在的集合是：{ (0,1,0,0,1), (1,0,1,1,0) }，则该集合的存储小数将为{9, 22}。如果y 是(0,1,1,0,0)，我们计算12 并对照集合{9, 22} 进行检查。这种方法的好处是，对于每个新的y，我们不必检查每个预先存在的集合的n 元素。我们可以只比较十进制数。

问题1。在我看来（方法2）应该比（方法1）更有效。对于（方法2），是否有一种有效的方法（C/C++ 中的内置库函数）将x_ps 和y 从二进制转换为十进制？这些指标变量的数据类型应该是什么？例如，bool y[5]; 或 char y[5];？

问题2.有没有比（方法2）更有效的方法？

Answer 1

您已经注意到，指标向量和 N 位整数之间存在微不足道的同构。这意味着您的问题 2 的答案是“否”：可用于维护集合和测试其中成员资格的工具与整数相同（哈希表带来了正常的方法）。评论中提到了 Bloom 填充器，它可以有效地测试成员资格，但存在一些误报的风险，但 Bloom 过滤器通常适用于比您看到的更大的数据量。

至于你的问题1：方法2是合理的，比你想象的还要容易。虽然vector<bool> 没有给您提供将其转换为整数块的简单方法，但在实现上我知道它已经以这种方式实现（C++ 标准允许对该特定向量类型进行特殊处理，这在当今普遍被考虑这是一个糟糕的决定，但偶尔会产生一些好处）。这些向量是可散列的。因此，只需保持unordered_set<vector<bool>> 左右，您将获得相当接近最佳性能的性能。 （如果你在编译时知道N，你可能更喜欢bitset 而不是vector<bool>。）

Answer 2

方法 2 可以通过计算给定子集的十进制等效值并使用模数 1e9+7 对其进行散列来优化。这会导致每次 N

#define M 1000000007  //big prime number
unordered_set<long long> subset;  //containing decimal representation of all the 
                                  //previous found subsets

/*fast computation of power of 2*/
long long Pow(long long num,long long pow){
    long long result=1;
    while(pow)
    {
        if(pow&1)
        {
            result*=num;
            result%=M;
        }
        num*=num;
        num%=M;
        pow>>=1;
    }
    return result;
}
/*checks if subset pre exists*/
bool check(vector<bool> booleanVector){
    long long result=0;
    for(int i=0;i<booleanVector.size();i++)
        if(booleanVector[i])
            result+=Pow(2,i);
    return (subset.find(result)==subset.end());
}