0-1 背包再访

Question

嗯，这是一个古老的 0-1 背包问题，但在找到我能得到的最高总价格后，我需要找到我可以携带的物品。但是对于下面的测试用例（共3项）

10 (max weight that I can carry)
5 3 (weight and value for each item)
5 2
6 5

这里的最高价格是 5。但重量可以是 6 或 10(5+5) 。两者都会给出相同的价格，但显然可行的是 6 公斤的物品而不是 10 公斤的物品。我想提示我如何从 dp 矩阵计算这个。我得到了这个测试用例的以下矩阵。

0 0 0 0 3 3 3 3 3 3 
0 0 0 0 3 3 3 3 3 5 
0 0 0 0 3 5 5 5 5 5 

使用此算法，它发现重量为 10，但最佳重量为 6 公斤。

i=n, k=W(max weight)// n= total items

while i,k > 0

if dp[i,k] ≠ dp[i−1,k] then 
mark the ith item as in the knapsack
i = i−1, k = k-w(weight of ith item)

else
i = i−1

Answer 1

简单的解决方案是在不同尺寸的袋子上反复运行背包算法，并选择最小的袋子，但仍能提供与原始袋子相同的价值。

这可以在重量 [0,W] 上使用 binary search 来完成 - 因此您将运行背包算法总计 O(logW) 次，从而为您提供总计 O(nW*log(W)) 解决方案，以找到最大值和可能的最小袋子尺寸。

如何暗示二分搜索的想法：
让原始包的大小为W，运行knapsack(W,items)，得到value。现在检查knapsack(W/2,items) 是否仍然返回value。如果是 - 在(0,W/2] 范围内搜索。如果没有，请在(W/2,W] 范围内搜索，直到找到返回value 的最小包大小。