最大覆盖变体的启发式

Question

我有以下问题： 有N组。每个组都是集合的集合。 目标是从 N 个组中的每个组中准确选择一个集合，以使作为所有选择的并集的集合的大小最大化。 每组中的集合数不一定相同，但有界是由某个数 M 限制的。

例如，

1. {6, 7, 8}, {10} 
2. {6,7}, {8,9} 
3. {10}, {1,2}, {99}

实际答案为6，因为您可以从1 中选择{6,7,8}，从2 中选择{8,9}，从3 中选择{1,2}，从而使联合{1,2,6,7,8,9} 的大小为6。

在我的特定领域中，问题结构始终遵循以下规则： N 从 1 到 2000 不等。集合中的数字从 1 到 50。单个集合的最大大小为 5，并且给定集合中任何两个数字之间的绝对差不能超过 2（集合可以包含j 、j+1、j-1、j+2 或 j-2)。

我认为我不能足够快地完美解决这些问题。所以我想出了以下启发式方法：

1. 大小的上限是每个组中每个集合的并集大小（上例中为 8）
2. 大小的上限是每个组中最大集合的大小之和。 （上面的例子会给出 7）
3. 大小上限为 min(heuristic1, heuristic2)

我认为没有一种有效的算法可以准确计算尺寸（尽管我很想被证明是错误的）。但是，如果有人能看到一个可以给出更严格界限（并且计算效率高）的启发式算法，那就太棒了。

编辑：对于我的特定用例，我只对上限感兴趣。我需要能够肯定地说大小不超过一个特定的数字，否则启发式对我来说毫无用处。

Answer 1

可以利用的组和集合之间是否存在任何关系？

如果不是，那么使用一个简单的贪心算法怎么样，从空集开始，然后为每个组添加当前解决方案中没有的元素最多的集合：

1. 令 T = {∅}, N = 1
2. 选择集S_k ∈ {S₁, ..., S_M} 在组 N 这样S_k = ma​​x_i(|S_{i sub> \ T|)}
3. 令 T = T ∪ S_k
4. 如果最后一个组退出，否则 N = N + 1 并转到步骤 2。

答案显然取决于几个问题：

• 初始组
• 处理组的顺序
• 当 ma​​x 不唯一时选择 S_k

要缓解这些问题，您可以跟踪多个解决方案T。例如，在每一步都保留前 2 或 3 个解决方案。然后在退出时保持最大的解决方案。