以最小的差异对数组进行分区

Question

给定一个数组 A N 整数。我需要找到X，以使以下两个值(A[1] * A[2] * ... * A[X]) 和(A[X+1] * A[X+2] * ... * A[N]) 之间的差异最小，即我需要最小化| (A[1] * A[2] * ... * A[X]) - (A[X+1] * A[X+2] * ... * A[N]) |，如果有多个这样的X 值，打印最小的一个。

约束：-

• 1 N

• 1 A[i]

我无法找到有效解决此问题的方法。 解决此问题的最佳方法应该是什么。有没有什么特殊的算法可以让大量的数字相乘。

Answer 1

这个想法是使用前缀和后缀产品的形式。

让：

1. pre[i] = A[1] * A[2] * ... A[i] 和
2. suf[i] = A[i] * A[i + 1] * ... A[N]

您可以在 O(n) 时间内计算这些数组，如下所示：

• pre[i] = A[i] * pre[i - 1] 与 pre[1] = A[i] 和

• suf[i] = A[i] * suf[i + 1] 和suf[N] = A[n]

然后，从 i = 1 迭代到 N 并计算最大值：

abs(pre[i] - suf[i + 1])

观察pre[i] - suf[i + 1] 与：

(A[1] * A[2] * ... * A[i]) - (A[i + 1] * A[i + 2] ... * A[N])

这正是您想要计算的。

Answer 2

你可以在 O(n) 中做到这一点：第一次 - 得到数组 (P) 的所有元素的乘积，第二次 - 假设在开始时左边部分是一个，第二个是 P，在每一步 i在 X[i] 上左乘并在 X[i] 上右除。继续这个过程，直到左边小于右边。

由于您有大量数字，因此您需要一些大数乘法。所以，也许你最好转移到 A[i]、LA[i] 的对数数组并转移到新的标准。

编辑：

正如@CiaPan 所说，标准 64 位十进制的精度不足以在这里进行日志操作（因为值可能高达 10^18）。

所以要解决这个问题，你应该首先将源数组的值拆分成对，这样：

s[2*i]   = a[i].toDouble / (10.0^9)
s[2*i+1] = a[i]/s[2*i]  

数组 s 比源数组 a 长两倍，但它的值不超过 10^9，所以应用 log 操作是安全的，然后为数组 s 找到所需的 sX 并将其除以 2 得到数组 a 的 X .

不需要超精度对数逻辑。