浮点比较是否连续？如果 !(a <= b) 是 (b > a) 保证？

Question

是否保证浮点数：

• (a <= b) 暗示 !(b > a)
• !(a <= b) 暗示 b > a

我目前正在处理跨语言，但如有必要，您可以在 C、C++ 或 C# 之一中假设 float 或 double。假设不涉及NaN。

我假设 IEEE 的规则在这里适用。我不确定他们的订购规则是否暗示上述内容。

我特别担心的是a 和b 并不总是相同的变量，而是相同的值。它们总是来自完全相同的计算。但是，由于比较是在不同的代码位置完成的，我无法保证它们是否始终是存储/截断形式（最终可能具有扩展精度）。

当我在寻找保证时，答案应该包括做出这些保证的参考资料，或者官方/强烈暗示这些保证。

Answer 1

根据 IEEE 754 (2008) 标准（§ 5.11）：

可能有四种互斥关系：小于、等于、大于和无序。最后一种情况出现在至少一个操作数是 NaN 时。每个 NaN 都应将 unordered 与一切进行比较，包括它自己。比较应忽略零符号（因此 +0 = -0）。相同符号的无限操作数应该比较相等。

所以是的，假设两个参数都不是 NaN，那么这两个陈述都是正确的。

至于使用隐式扩展精度格式，问题在于允许这些意味着它不再严格遵循 IEEE 754 标准。请参阅this excellent answer and discussion 了解启用严格合规性。

更新：据我了解，如果您使用的是最近的标准（例如-std=c99），那么只要您要比较的东西是声明的变量（例如@ 987654323@) 而不是常量（例如if (0.1 < b) ...）。

Answer 2

答案是是的，但这只是因为您排除了 NaN，根据我对 IEEE-754 标准的阅读。通常答案是否。该标准的相关部分内容如下：

5.11 比较谓词详解

对于每种支持的算术格式，应该可以比较 一个浮点数据以该格式转换为另一个数据（见 5.6.1）。 此外，以不同格式表示的浮点数据 只要操作数的格式相同，就应具有可比性 基数。

可能有四种互斥关系：小于、等于、 大于，且无序。最后一种情况出现在至少一个操作数是 NaN 时。每个 NaN 都应将 unordered 与 一切，包括它自己。比较应忽略的符号 零（所以 +0 = -0）。相同符号的无限操作数应比较 相等。

语言定义了比较结果的传递方式，在 两种方式之一：要么作为识别四种方式之一的关系 上面列出的关系，或作为对谓词的真假响应 命名所需的特定比较。

表 5.1、表 5.2 和表 5.3 在功能上展示了 22 个 不同的有用谓词和否定，具有各种临时和 传统的名称和符号。如果任何一个谓词为真，则每个谓词 表示关系为真。关系“？”表示无序 关系。表 5.2 列出了五个无序信号谓词和 他们的否定会导致无效的操作异常，当 关系是无序的。无效操作异常维护 防止在使用 标准谓词 {=, >} 及其否定，没有 考虑安静 NaN 操作数的可能性。程序 明确考虑安静 NaN 操作数的可能性 使用表 5.3 中不发出信号的无序安静谓词 这样一个无效的操作异常。

除了无效操作之外，比较永远不会发出异常信号 例外。

注意谓词成对出现，每一个都是对 其他;应用诸如 NOT 之类的前缀来否定表中的谓词 5.1、表5.2、表5.3颠倒了其关联条目的真假意义，但不改变是否无序关系 导致无效操作异常。

表 5.1 中的无序安静谓词不表示异常 在安静的 NaN 操作数上：

表 5.1 - 必需的无序安静谓词和否定

表 5.2 中的无序信号谓词，旨在供以下人员使用 不编写的程序考虑到 NaN 的可能性 操作数，在安静的 NaN 操作数上发出无效操作异常信号：

表 5.2 - 必需的无序信号谓词和否定

表 5.3 中的无序安静谓词，旨在供以下人员使用 考虑到 NaN 操作数的可能性而编写的程序， 不要在安静的 NaN 操作数上发出异常信号：

表 5.3 - 必需的无序安静谓词和否定

谓词的逻辑否定有两种写法，一种 显式使用NOT，另一个反转关系运算符。 因此，在没有考虑 NaN 可能性的情况下编写的程序 操作数，无序信号谓词的逻辑否定（X = Y) 的不同之处在于它 当 X 和 Y 是时，不会发出无效操作异常信号 无序（除非 X 或 Y 是信号 NaN）。相反，(X = Y) 的逻辑否定可以写成 NOT(X = Y) 或 (X ? Y);在这种情况下，两个表达式在功能上是等效的 到 (X ≠ Y)。

因此，对我来说，由于没有 NaN 排除了 UN 关系，因此剩下的就是集合 EQ LT GT。肯定LT EQ意味着否定GT，否定LT EQ确实是GT。