如何有效地找到整数 k 的值，其中 q 有限地除 b ^ k？答案

【问题标题】：How to find the value of integer k efficiently for which q divides b ^ k finitely?如何有效地找到整数 k 的值，其中 q 有限地除 b ^ k？
【发布时间】：2018-05-19 07:56:28
【问题描述】：

我们已经给出了两个整数 b 和 q，我们想要找到一个整数 'k' 的最小值，其中 q 完全整除 b^k 或者 k 不存在。我们能有效地找出k的值吗？不只是迭代 k (0, 1, 2, 3, ...) 的每个值并检查 (b^k) % q == 0) where q = k.

【问题讨论】：

标签： division integer-division greatest-common-divisor

【解决方案1】：

首先，k 永远不会等于 0，除非 q=1。 k 永远不会等于 1，除非 q=b。

接下来，如果你可以分解 q 和 b，那么你可以推理它们。

如果 b 的任何素因数根本不是 q 的因数，则 k 不存在。否则，k 必须足够大，以便 b^k 的每个因子都用 q 表示。

这是一些伪代码：

if (q==1) return 0;
if (q==b) return 1;
// qfactors and bfactors are arrays, one element per factor
let qfactors = prime_factorization(q);
let bfactors = prime_factorization(b);
let kmin=0;
foreach (f in bfactors.unique) {
     let bcount = bfactors.count(f);
     let qcount = qfactors.count(f);
     if (qcount==0 || qcount < bcount) return -1; // k does not exist
     kmin_f = ceiling(bcount/qcount);
     if (kmin_f > kmin) let kmin = kmin_f;
}
return kmin;

【讨论】：

您的解决方案很好，但我认为对于较大的 b 或 q 值，它会面临素数分解问题。

【解决方案2】：

如果 q = 1 ; k = 0

如果 b = q ; k = 1

如果 b > q 和因素 ; k = 1

如果 b

如果 b != q 而不是因数； k != 我

我们知道，股息 = 除数 x 商 + 提醒

=> 股息 = 除数 x 商 [这里，提醒 = 0]

现在计算最大值和最小值，因为商的值越低，“k”的值就越小。

如果您将商数视为 1（最小但 spl 大小写），那么您的“k”公式将变为，

k = log q/log b

【讨论】：

【解决方案3】：

我找到了解决方案-
如果 q 除以 pow(b,k) 则 q 的所有素因数都是 b 的素因数。现在我们可以迭代 q = q ÷ gcd(b,q) 而 gcd(q,b)≠1。如果q≠1经过迭代，有q的素因数不是b的素因数
那么
k 不存在
else
k = 没有迭代。

【讨论】：