水平/垂直均匀分布网格单元？

Question

我试图在game_width=640 和game_height=480 的窗口内绘制一个网格。网格单元的数量是预定义的。我想水平和垂直均匀分布单元格。

void GamePaint(HDC dc)
{
    int numcells = 11;
    for(int i = 1; i <= numcells; i++)
    {
        int y = <INSERT EQUATION>;
        MoveToEx(dc, 0, y, NULL);
        LineTo(dc, game_width, y);
    }

    // solving the horizontal equation will in turn solve the vertical one so no need to show the vertical code
}

想到的第一个等式是：

i * (game_height / numcells)

这背后的概念是将总高度除以单元格的数量以获得偶数单元格大小，然后在循环的每次迭代中将其乘以i以获得正确的y坐标水平线。

问题在于它似乎在最后留下了一个额外的小单元：

我认为这一定与积分除法有关，所以我们得出第二个等式：

(int)(i * ((float)game_height / numcells))

这个想法是避免整数除法，进行浮点除法，像以前一样乘以 i 并将结果转换回 int。这很好用，最后没有额外的小单元格！

让我抓狂的是这个等式：

i * game_height / numcells

这似乎与前面的等式具有相同的效果，但当然还有不进行任何强制转换的额外好处。我不明白为什么这不会受到第一个等式中整数除法问题的影响。

注意数学上：X * (Y / Z) == X * Y / Z 所以第一个方程的整数除法肯定有问题。

Here's a video 在调试器观察窗口中观察这 3 个方程。

随着i 的增加，您可以看到第一个等式的结果与第二个和第三个等式（始终具有相同的结果）之间的差距越来越大。

为什么第三个方程和第二个方程一样给出正确的结果，而没有受到第一个方程的积分除法误差的影响？我似乎无法理解它......

感谢任何帮助。

Answer 1

答案是按照执行操作的顺序。第一个方程

int y = i * (game_height / numcells);

首先执行除法，并通过乘以i 来放大舍入误差。向下/向右移动越远，累积的舍入误差就越大。

最后一个方程

int y = i * game_height / numcells;

从左到右计算。相对误差会变小，因为您正在划分更大的数字 (i * game_height)。你仍然有一个舍入误差，但它不会累积。事实上，您在最终评估中没有多余的空间是，i 等于numcells，基本上相互抵消。在最终迭代中，您将始终看到 y == game_height。

使用浮点运算仍然更准确：虽然使用整数数学的舍入误差在每行的区间 [0 .. numcells) 内，但浮点数学将其减少到 [0 .. 1)。您将看到使用浮点数学的更均匀分布的线条。

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注意：在 Windows 上，您可以使用 MulDiv 代替整数方程，以防止常见错误，例如瞬时溢出。