这个 sqrt 近似内联汇编函数是如何工作的？

Question

通读3D游戏编程大师的技巧，我发现了这个用内联汇编编写的排序函数：

inline float FastSqrt(float Value)
{
    float Result;

    _asm
    {
        mov eax, Value
        sub eax, 0x3F800000
        sar eax, 1
        add eax, 0x3F800000
        mov Result, eax
    }

    return(Result);
}

这是实际平方根的近似值，但准确度足以满足我的需要。

这实际上是如何工作的？这个神奇的0x3F800000 值是什么？我们如何通过减法、旋转和加法获得平方根？

这是它在 C/C++ 代码中的样子：

inline float FastSqrt_C(float Value)
{
    float Result;

    long Magic = *((long *)&Value);
    Magic -= 0x3F800000;
    Magic >>= 1;
    Magic += 0x3F800000;
    Result = *((float *)&Magic);

    return(Result);
}

Answer 1

很多人指出0x3f800000是1.0的表示。虽然这是真的，但它与计算的方式无关。要理解它，您需要知道非负浮点数是如何存储的。 f = (1+m)*2^x，0 <= m < 1 和 m 是尾数，x 是指数。另请注意，x 存储有偏差，因此二进制文件中的实际内容是x+127。 32 位值由符号位（在我们的例子中为零）、8 位指数存储 x+127 和最后 23 位尾数 m 组成。 （见wikipedia article）。

应用一些基本的数学，

sqrt(f) = sqrt((1+m)*2^x)
        = sqrt(1+m)*sqrt(2^x)
        = sqrt(1+m)*2^(x/2)

因此，作为粗略的近似，我们需要将指数减半，但由于存在偏差，我们不能只做x/2，我们需要(x-127)/2 + 127。这个127 移动到适当的位位置是神奇的0x3f800000。

除以 2 是通过右移一位来实现的。由于这对整个浮点数起作用，因此它对尾数也有副作用。

首先，假设原始指数是偶数。然后移出的最低有效位为零。因此，尾数也减半，所以我们最终得到的是：sqrt(f) = (1+m/2)*2^(x/2)。我们得到了正确的指数，但尾数是 (1+m/2) 而不是 sqrt(1+m)。这方面的最大相对误差是(1.5 - sqrt(2))/sqrt(2) ~ 6%，如果m 几乎是1 意味着f 接近，但小于2 的奇数幂，就会发生这种情况。以f=7.99 为例。该公式为我们提供了关于2.998 而不是2.827 确实有6% 的错误。

现在，如果指数是奇数，那么最低有效位将是1，当移入尾数时会导致增加一半。因此，我们得到sqrt(f) = (1.5+m/2)*2^((x-1)/2)。最大的错误实际上是m=0，这将是(1.5/sqrt(2)-sqrt(1))/sqrt(1)，它又是6%。这发生在从上面接近 2 的奇数次幂的数字上。

如果输入值恰好接近 2 的奇数幂，则这两种情况相结合意味着最差的不准确度约为 6%。对于 2 的偶数次方，结果是准确的。

Answer 2

0x3F800000 in float 是 1。这是因为浮点数的存储方式。您可以在https://gregstoll.dyndns.org/~gregstoll/floattohex/ 看到一个视觉表示。

这是一个很好的近似值，我相信 sqrt。这源于一个游戏 Quake for inverse sqrt (https://en.wikipedia.org/wiki/Fast_inverse_square_root#Aliasing_from_floating_point_to_integer_and_back)。

Answer 3

下面是这个机制的一个例子：

FastSqrt(4.0) == 2.0

4.0 to hex -> 0x40800000
0x40800000 - 0x3f800000 = 0x1000000
0x1000000 to binary -> 00000001 00000000 00000000 00000000
shift toward the lsb (sar) -> 00000000 10000000 00000000 00000000
00000000 10000000 00000000 00000000 back to hex -> 0x00800000
0x00800000 + 0x3f800000 = 0x40000000
0x40000000 to dec -> 2.0

Answer 4

浮点数 f = (1 + m)* [2^(e+127)]，其中 m 为尾数部分，e 为指数部分。

因此：sqrt(f) = (f)^(1/2) = ((1 + m)* [2^(e+127)] )^(1/2)

-> ((1 + m)* [2^(e+127)] )^(1/2) = (1 + m)^(1/2) * 2^((e + 127)/ 2)

在指数部分，2^((e + 127)/2)：

2^((e + 127)/2) = 2^( (e-127/2) + 127)

因此，在浮动表示中， 它是 (e - 0x3F800000) /2 + 0x3F800000

尾数部分，(1 + m)^(1/2)：

从二项级数公式，(1 + x)^r = 1 + rx + (r(r - 1)/2)*(x^2) +....

因此，(1 + m)^(1/2) 等于 (1 + m/2 - (m^2)/8 + ...) 它大约等于 1 + m/2（一阶的典型近似值） 因此，尾数部分应除以2。

但是，尾数和指数组合为 A 数，右移除以指数和尾数 BOTH。

要评估错误，您可以考虑二项式级数的第二项 - (m^2)/8。

因为 m 总是小于 1，我将 m 替换为 0.9999 (0.5 + 0.25 + 0.125 + ...)

(m^2)/8 = 0.12497500125，这是最坏的情况。