DBL_MAX 加法是如何工作的？

Question

代码

#include<stdio.h>
#include<limits.h>
#include<float.h>

int f( double x, double y, double z){
  return  (x+y)+z == x+(y+z);
}

int ff( long long x, long long y, long long z){
  return  (x+y)+z == x+(y+z);
}

int main()
{
    printf("%d\n",f(DBL_MAX,DBL_MAX,-DBL_MAX));     
    printf("%d\n",ff(LLONG_MAX,LLONG_MAX,-LLONG_MAX));
    return 0;
}

输出

0
1

我无法理解为什么这两个函数的工作方式不同。这里发生了什么？

Answer 1

在 C++ 和 C 标准的眼中，整数版本和浮点版本可能会调用未定义行为，因为计算结果 x + y 无法以执行算术的类型表示。^† 所以这两个函数都可以产生甚至做任何事情。

但是，许多现实世界的平台为浮点运算提供了额外的保证，并以某种方式实现整数，让我们解释您得到的结果。

考虑到f，我们注意到许多流行的平台都实现了 IEEE 754 中描述的浮点数学。按照该标准的规则，我们得到了 LHS：

DBL_MAX + DBL_MAX = INF

和

INF - DBL_MAX = INF.

RHS 产量

DBL_MAX - DBL_MAX = 0

和

DBL_MAX + 0 = DBL_MAX

因此 LHS != RHS。

转到ff：许多平台以二进制补码形式执行有符号整数计算。二进制补码的加法是关联的，因此只要优化器不将其更改为与二进制补码规则相矛盾的内容，比较就会产生真值。

后者是完全可能的（例如参见this discussion），因此您不能依赖有符号整数溢出来执行我上面解释的操作。但是，在这种情况下，它似乎“很好”。

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^†请注意，这绝不适用于无符号整数算术。在 C++ 中，无符号整数实现算术模 2^NumBits 其中NumBits 是类型的位数。在这个算术中，每个整数都可以通过在[0, 2^NumBits - 1] 中选择其等价类的代表来表示。所以这个算术永远不会溢出。

对于那些怀疑浮点情况是潜在 UB 的人：N4140 5/4 [expr] 说

如果在计算表达式期间，结果未在数学上定义或不在 其类型的可表示值，行为未定义。

就是这样。允许使用 inf 和 NaN 的东西，但在 C++ 和 C 浮点数学中不需要。仅当std::numeric_limits::is_iec559<T> 对所讨论的浮点类型为真时才需要。 （或者在 C 中，如果它定义了__STDC_IEC_559__ 。否则，附件 F 的内容不需要适用。）如果任何一个 iec 指标保证我们符合 IEEE 语义，那么行为就可以很好地完成我上面描述的操作。