通过一次翻转 k 位来获得最大 1答案

【问题标题】：Make maximum 1's by flipping k bits at a time通过一次翻转 k 位来获得最大 1
【发布时间】：2019-06-13 11:04:29
【问题描述】：

给定一个 n 位向量和一个整数 k，1

准确选择k位（不一定是连续的）并翻转它们的状态（0到1、1到0）；

经过分析，我得出结论，如果n > k，我们也可以同时翻转任意两位。例如对于 n = 5，k = 4。我们可以做这样的事情来只翻转最后两位。

xxxx_
xxx_x

'x'表示我们在那个位置翻转位。

但我不知道在那之后如何进行，我无法进行更多观察。那么，正确的方法是什么？你可以假设一个 n^2 算法是可行的。

【问题讨论】：

如果 n-k 很小，那么简单的 O(n^k) 方法可能足够快，
@MrSmith42 遗憾的是，不能保证 n - k 足够小。尽管如此，你能分享幼稚的解决方案吗？我无法想象任何蛮力。
This question 应该会给你一个好的开始。

标签： algorithm mathematical-optimization bit bitstring

【解决方案1】：

翻转零直到零的数量低于k。设 m 为零的个数。

翻转 k - m/2 个 1 和 m/2 个 0（整数除法）。现在你有 m + (k-m/2) - m/2 = m + k - m/2 - m/2 ~ k 个零。（整数除法的近似 b/c）。

最后，翻转所有的零和尽可能多的零，以获得总共 k 次翻转。根据 m 的奇偶性，这将是全 1 或关闭。

【讨论】：

【解决方案2】：

戴夫的方法似乎是正确的。我将在此处发布问题后分享我的想法。

让零的数量为z，现在说服自己，如果k < n，我们可以通过使用问题中提到的k-bit操作的组合来翻转任意两位（一对）。这里有一个参数可以帮助您满足这一事实，选择您想要翻转的对以外的任何k - 1 位；然后从一对中选择一个位以及我们刚刚选择的k - 1，应用该操作；然后从该对中选择另一个位以及我们之前选择的相同k - 1 位，再次应用该操作。如果k < n 或n 至少为k + 1，我们保证能找到这些k - 1 辅助位。

那么自然会出现两种情况：

k == n ：显然我们只能全部翻转或不翻转。所以答案是max(n - z, z)
k < n ：在这种情况下，我们可以翻转任何 k 位，或者我们可以翻转任意 2 位（使用上面的参数）。现在，如果z < k，我们只能使用2位翻转，如果z是奇数，我们还剩下一位为0，答案是n - 1；如果z 是偶数，我们将它们全部翻转为1，所以答案是n。现在当z >= k 时，我们可以同时使用k 位翻转和2 位翻转，声称如果z 是奇数而k 是偶数，我们就剩下一个0（答案是n - 1）否则我们总是可以将所有的 0 变为 1（答案是 n）。

最后一个说法的解释：如果我们可以同时使用 k 位翻转和 2 位翻转，而 z 恰好是奇数，我们尝试使用一个 k 位翻转来改变剩余 0 的奇偶校验（z - k 的奇偶校验）。我们只能在 k 为奇数的情况下这样做，否则我们不能这样做，并且对奇数个零使用 2 位运算将使我们得到一个零。所以，简而言之，如果 k 与奇数 z 是偶数，我们将得到一个 0，否则我们得到全 1。

【讨论】：