如何通过平移、旋转和缩放来反转仿射变换？

Question

我有一个 4x4 矩阵，其中包含平移、旋转和缩放组件，但没有剪切或其他转换。我如何找到它的倒数？我在 C++ 中使用 Eigen 库。

Answer 1

这很难做到，因为操作需要以正确的顺序执行：

template<class Derived>
Matrix4f AffineInverse(const Eigen::MatrixBase<Derived>& mat)
{
    Matrix3f RotSclInv = (
        mat.block<3, 3>(0, 0).array().rowwise()
        / mat.block<3, 3>(0, 0).colwise().squaredNorm().array() //scaling
        ).transpose(); //rotation
    return (Matrix4f(4,4) << RotSclInv
        , -RotSclInv * mat.block<3, 1>(0, 3) //translation
        , 0, 0, 0, 1).finished();
}

正如this answer所说，左上角3x3块的逆可以单独计算：

inv ([ A b ]) = [inv(A)  -inv(A)*b]
    ([ 0 1 ])   [  0          1   ]

左上块的关键见解是缩放和旋转等于正交（旋转）矩阵Q 乘以对角线（缩放）矩阵D：Q*D。要反转它，请做一些线性代数：

  inv(Q*D)
= transp(transp(inv(Q*D)))
= transp(inv(transp(Q*D)))
= transp(inv(transp(D)*transp(Q)))

（参见this proof），因为D 是对角线，而Q 是正交线，

= transp(inv(D*inv(Q)))
= transp(Q*inv(D))).

Q*inv(D) 很容易找到：因为在Q*D 中，每一列都是Q（这是一个单位向量）的一列乘以D（这是一个标量）的一个条目，这就足够了将每一列除以其范数的平方。这就是函数的前三行所做的。

完全写成线性代数形式：

inv ([ Q*D b ]) = [transp(Q*inv(D))  -transp(Q*inv(D))*b]
    ([ 0   1 ])   [       0                 1           ]