有人可以解释为什么这可以计算无符号整数中的设置位吗？

Question

我看到这个代码叫做"Counting bits set, Brian Kernighan's way"。我很困惑如何“按位与”整数及其减量来计算设置位，有人可以解释一下吗？

unsigned int v; // count the number of bits set in v
unsigned int c; // c accumulates the total bits set in v
for (c = 0; v; c++)
{
  v &= v - 1; // clear the least significant bit set
}

Answer 1

演练

让我们通过一个示例来遍历循环：让我们将v = 42 设置为二进制的0010 1010。

• 第一次迭代：c=0, v=42 (0010 1010)。 现在v-1 是41，它是二进制的0010 1001。 让我们计算v & v-1：

     0010 1010
   & 0010 1001
     .........
     0010 1000
  

  现在v&v-1 的值是二进制的0010 1000 或十进制的40。该值存储到v。

• 第二次迭代：c=1, v=40 (0010 1000)。现在v-1 是39，它是二进制的0010 0111。让我们计算v & v-1：

     0010 1000
   & 0010 0111
     .........
     0010 0000
  

  现在v&v-1 的值是0010 0000，即十进制的32。此值存储到v。

• 第三次迭代：c=2, v=32 (0010 0000)。现在v-1 是31，它是二进制的0001 1111。让我们计算v & v-1：

     0010 0000
   & 0001 1111
     .........
     0000 0000
  

  现在v&v-1 的值是0。

• 第四次迭代：c=3, v=0。 循环终止。 c 包含3，这是42 中设置的位数。

为什么会起作用

您可以看到v-1 的二进制表示将最低有效位或 LSB（即最右边的位为 1）从 1 设置为 0，并且所有位都位于 LSB 的右侧从 0 到 1。

当您在v 和v-1 之间执行按位与 时，在v 和v-1 中，从 LSB 剩下的位相同，因此按位与将保持不变. LSB 右边的所有位（包括 LSB 本身）都是不同的，因此结果位将为 0。

在我们最初的v=42 (0010 1010) 示例中，LSB 是右起第二位。您可以看到v-1 与42 具有相同的位，除了最后两个：0 变为 1，1 变为 0。

同样，v=40 (0010 1000) LSB 是右数第四位。在计算v-1 (0010 0111)时，可以看到左四位保持不变，而右四位反转（零变成一，一变成零）。

因此v = v & v-1 的作用是将v 的最低有效位设置为0，其余保持不变。当所有位都以这种方式被清除后，v 为 0，我们已经对所有位进行了计数。

Answer 2

每次循环计数一位，并清除一位（设置为零）。

它的工作原理是：当您从一个数字中减去 1 时，您会将最低有效位更改为 0，将更不重要的位更改为 1——尽管这无关紧要。没关系，因为它们在您要递减的值中为零，因此无论如何在与操作之后它们都将为零。

XXX1 => XXX0
XX10 => XX01
X100 => X011
etc.

Answer 3

令A=a_n-1a_n-2...a₁a_{0 sub>} 是我们要计算位的数字，k 是最右边位的索引。

因此 A=a_n-1a_n-2...a_k+1100...0 =Ak+2^k 其中 Ak=a_n-1a_n-2...a_k+1000...0

作为 2^k-1=000..0111..11，我们有 A-1=Ak+2^k-1=a_n-1a_n-2...a _k+1011...11

现在执行 A 和 A-1

的按位 &

a_n-1a_n-2...a_k+1100...0 A
a_n-1a_n-2...a_k+1011...1 A-1
a_n-1a_n-2.. .a_k+1000...0 A&A-1=Ak

所以A&A-1和A是一样的，只是它的最右边的位被清除了，这证明了方法的有效性。