两个物体之间的重力加速度

Question

所以我正在制作一个程序，您可以在其中有两个对象（圆圈）。我希望它们像行星一样围绕彼此运行，但仅限于二维。

我知道使用牛顿万有引力定律可以得到两个物体之间的力。我也知道 A = F / M。我的问题是如何从前面的方程中取出 A 并将其更改为向量？

Answer 1

你需要使用向量方程：

// init values (per object)
double ax=0.0,ay=0.0,az=0.0; // acceleration [m/s^2]
double vx=0.0,vy=0.0,vz=0.0; // velocity [m/s]
double  x=0.0, y=0.0, z=0.0; // position [m]
double m=1.0;                  // mass [kg] 

// iteration inside some timer (dt [seconds] period) ...   
int i; double a,dx,dy,dz; // first compute acceleration
for (ax=0.0,ay=0.0,az=0.0,i=0;i<obj.num;i++) 
 if (obj[i]!=this) // ignore gravity from itself
  {
  dx=obj[i].x-x;
  dy=obj[i].y-y;
  dz=obj[i].z-z;
  a=sqrt((dx*dx)+(dy*dy)+(dz*dz));     // a=distance to obj[i]
  a=6.67384e-11*(obj[i].m*m)/(a*a*a); // a=acceleration/distance to make dx,dy,dz unit vector 
  ax+=a*dx; // ax,ay,az = actual acceleration vector (integration)
  ay+=a*dy;
  az+=a*dz;
  }
vx+=ax*dt; // update speed via integration of acceleration
vy+=ay*dt;
vz+=az*dt;
 x+=vx*dt; // update position via integration of velocity
 y+=vy*dt;
 z+=vz*dt;

代码取自here

• obj[] 是您所有对象的列表
• obj.num 是他们的数量

我建议使用(ax,ay,az,...m) 中的所有变量创建对象类，将它们初始化一次，然后在某个计时器中不断更新（迭代）。如果您想要更高的精度，那么您应该首先计算所有对象的ax,ay,az，并且仅在更新速度和位置之后（以避免在重力计算期间改变对象的位置）。如果您想驱动一个对象（例如使用 truster），只需将其加速度添加到 ax,ay,az 向量）

现在只设置一个轨道：

1. 放置行星对象

   必须足够大，并将其position / velocity 设置为您想要的

2. 放置卫星

   初始位置应该在行星附近的某个地方。它不应该太大。初始化还具有与轨道轨迹相切方向的速度矢量。如果速度太低，它会坍缩成行星，如果速度太高，它会逃离行星，否则会绕轨道运行（圆形或椭圆形）

3. 计时器

   模拟的间隔越小越好，通常10ms 是可以的，但对于大而远的物体也是100ms 和更多的。如果您想要粒子或其他东西，请使用1ms（非常动态的场景）。

我强烈推荐阅读这篇相关的QA：

• Is it possible to make realistic n-body solar system simulation in matter of size and mass?

特别是[edit3]关于积分精度和创建轨道数据。

Answer 2

对于两个对象，您可能最好使用椭圆，这是对象围绕其共同质心所遵循的路径。阅读提供背景的Kepler's laws of planetary motion。

如果一个物体的质量比另一个大得多，即太阳和行星，您可以让一个物体静止，另一个走椭圆形路径。椭圆方程由下式给出

r = K e / ( 1 + e cos(theta))

K 是给出尺寸的常数，e 是偏心率。如果你想要一个椭圆轨道，0 a 和b 是椭圆的半长和半短长度，P 是周期，那么

0.5 * P * r^2 theta'= pi a b

theta' 是角度相对于时间的变化率 (d theta/d t)。您可以使用它来获取随着时间的增加，theta 会发生多少变化。首先计算当前半径 r₀ 给定当前角度 th₀ 如果时间增量是 δt 那么角度增量 δtheta 是

δtheta = 2 pi * a * b / r^2 * δt

下一个角度是th₀ + δtheta。

如果质量大小相似，请参阅two body problem。两个物体都有椭圆轨道，您可以在该页面上的动画中看到两种模式。椭圆将遵循与上述相同的公式，焦点位于共同的质心。

如果你有三个对象，事情就会变得相当困难，而且通常没有简洁的解决方案。请参阅three body problem。