每个 monad 都是一个应用函子——泛化到其他类别

Question

我可以很容易地在 Haskell 中定义一般的 Functor 和 Monad 类：

class (Category s, Category t) => Functor s t f where
    map :: s a b -> t (f a) (f b)

class Functor s s m => Monad s m where
    pure :: s a (m a)
    join :: s (m (m a)) (m a)
    join = bind id
    bind :: s a (m b) -> s (m a) (m b)
    bind f = join . map f

我正在阅读this post，它解释了一个应用函子是一个松散的（封闭的或单曲面的）函子。它是根据（指数或幺半群）双函子来实现的。我知道在 Haskell 类别中，每个Monad 都是Applicative；我们如何概括？我们应该如何选择定义Applicative的（指数或幺半群）函子？让我困惑的是我们的 Monad 类似乎没有任何（封闭或单面）结构的概念。

编辑：一位评论者说这通常是不可能的，所以现在我的部分问题是它可能在哪里。

Answer 1

让我感到困惑的是，我们的 Monad 类似乎没有任何（封闭或单面）结构的概念。

如果我正确理解了您的问题，那将通过单子的张量强度来提供。 Monad 类没有它，因为它是 Hask 类别所固有的。更具体地说，假设是：

t :: Monad m => (a, m b) -> m (a,b)
t (x, my) = my >>= \y -> return (x,y) 

Answer 2

基本上，单曲面函子的方法中涉及的所有单曲面内容都发生在目标类别上。它可以这样形式化^†：

class (Category s, Category t) => Functor s t f where
  map :: s a b -> t (f a) (f b)

class Functor s t f => Monoidal s t f where
  pureUnit :: t () (f ())
  fzip :: t (f a,f b) (f (a,b))

s-morphisms 仅在考虑幺半群函子定律时才会出现，它粗略地说s 的幺半群结构应该由函子映射到t 的这个幺半群结构。

也许更有洞察力的是将fmap 分解到类方法中，这样仿函数的“func-”部分的作用就很清楚了：

class Functor s t f => Monoidal s t f where
  ...
  puref :: s () y -> t () (f y)
  puref f = map f . pureUnit
  fzipWith :: s (a,b) c -> t (f a,f b) (f c)
  fzipWith f = map f . fzip

从Monoidal，我们可以找回我们以前的Hask-Applicative，因此：

pure :: Monoidal (->) (->) f => a -> f a
pure a = puref (const a) ()

(<*>) :: Monoidal (->) (->) f => f (a->b) -> f a -> f b
fs <*> xs = fzipWith (uncurry ($)) (fs, xs)

或

liftA2 :: Monoidal (->) (->) f => (a->b->c) -> f a -> f b -> f c
liftA2 f xs ys = fzipWith (uncurry f) (xs,ys)

也许在这种情况下更有趣的是另一个方向，因为这向我们展示了在广义情况下与 monad 的联系：

instance Applicative f => Monoidal (->) (->) f where
  pureUnit = pure
  fzip = \(xs,ys) -> liftA2 (,) xs ys
       = \(xs,ys) -> join $ map (\x -> map (x,) ys) xs

lambda 和元组部分在一般类别中不可用，但它们可以是 translated to cartesian closed categories。

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^†_{我将(,) 用作两个幺半群类别中的产品，具有标识元素()。更一般地，您可以为产品及其各自的标识元素编写 data I_s 和 data I_t 和 type family (⊗) x y 和 type family (∙) x y。}