“交错同态”的概念是真实的吗？答案

【问题标题】：Is the concept of an "interleaved homomorphism" a real thing?“交错同态”的概念是真实的吗？
【发布时间】：2014-06-06 21:17:47
【问题描述】：

我需要以下几类函数：

class InterleavedHomomorphic x where
  interleaveHomomorphism :: (forall a . f a -> g a) -> x f -> x g

显然我给它起的名字在任何方面都不是任何东西的官方术语，而且上面的类型类也不是很优雅。这是一个有名字的概念，甚至是某个库中的实现吗？有没有更合理的方法？

这个函数的目的是我有一些上下文 f 来注释一些数据（Foo 和 Bar 只是为了这个问题而随机示例数据结构）：

data Foo f = One (f (Bar f)) | Product (f (Foo f)) (f (Foo f))
data Bar f = Zero | Succ (f (Bar f))

我想以多态的方式转换数据的上下文；通过只知道上下文之间的同态而不（必然）关心数据本身。这可以通过在上面的示例中提供 instance InterleavedHomomorphic Foo 和 instance InterleavedHomomorphic Bar 来完成。

【问题讨论】：

标签： haskell functor category-theory comonad homomorphism

【解决方案1】：

因此，假设 f 和 g 是正确的函子，forall a. f a -> g a 是自然转换。我们可以让它更漂亮一点：

type f ~> g = forall a. f a -> g a

像这样的自然变换让我们形成了一个 Haskell 函子类别，因此您所拥有的是一个从该类别到其他类别的函子。

按照普通 Haskell Functors 的步骤，让x 成为一个内函子，将 Functors 映射到其他 Functors 可能是有意义的。这与您所拥有的相似但不完全相同：

class FFunctor x where
  ffmap :: (f ~> g) -> (x f ~> x g)

但是，在您的情况下，x f 和 x g 不是函子，x f -> x g 是正常函数而不是自然转换。不过，这种模式非常接近，足以吸引人。

考虑到这一点，x 似乎仍然是函子的一个例子，只是介于两个不同的类别之间。它从 Functor 的类别到具有不同结构的 xs 的类别。每个可能的x，如Foo，与Foo [] 和Foo Maybe 等对象以及它们之间的转换(Foo [] -> Foo Maybe) 形成一个类别。您的 interleaveHomomorphism 函数将自然转换“提升”为这些 x-morphisms，就像 fmap“提升”正常 (a -> b) 函数为仿函数 (f a -> f b) 中的函数一样。

是的：你的 typeclass 是一个仿函数，就像Functor，除了在两个不同的类别之间。我不知道它的具体名称，主要是因为我不知道像x 这样的结构的具体名称。

更一般地说，我什至不确定特定名称是否有意义。在这一点上，我们可能想要一个很好的泛型仿函数类型类，它介于 any 两个类别之间。可能是这样的：

class (Category catA, Category catB) => GFunctor f catA catB where
  gfmap :: catA a b -> catB (f a) (f b)

这可能已经存在于某个库中。

不幸的是，这种定义不同函子的特殊方法需要大量额外的新类型噪音，因为(->) 已经是一个类别。事实上，让所有类型正确排列会有点痛苦。

因此，将其称为XFunctor 或其他名称可能是最简单的。此外，想象一下pun potential！

编辑：看起来categories 提供了这样的CFunctor 类型，但更聪明：

class (Category r, Category s) => CFunctor f r s | f r -> s, f s -> r where
  cmap :: r a b -> s (f a) (f b)

但是，我不确定这是否足够通用！我认为我们可能希望它也比种类更具多态性。

【讨论】：

果然有GFunctor这样的东西存在；确实，数学家会认为像我们在 Hask 中那样的内函子非常特殊，并且通常处理不同类别之间的函子。 Edward 参数化 class (Category r, Category t) => Functor f r t | f r -> t, f t -> r where fmap :: r a b -> t (f a) (f b)。
@leftaroundabout：谢谢！我在category-extras 中找到了旧版本，但看起来categories 是更新、更好使用的包。
我看不出f 和g 需要成为函子。然而，将x 视为从某种泛型存在量化态射到另一个类别的函子是有意义的。很高兴看到CFunctor 存在，但遗憾的是它没有围绕它构建的非常严格和全面的框架以便有用。我想无论如何我都必须专注于我的用例。但是这个答案是有道理的，所以我会接受它！
我实际上是在尝试在 ZuriHac 恢复 categories 包。
@dflemstr: f 和 g 需要成为 forall a. f a -> g a 的函子才能成为自然变换，因为这就是自然变换的定义方式。此外，这种类型的大多数简单类型是函子，我认为您非常需要fmap 才能对Foo 和Bar 做任何有用的事情。

【解决方案2】：

Bar f 看起来像 Free Monad Free f ()。

那么Foo 是一个do 和一个或两个<-。也许从那里继续......

【讨论】：

正如我在问题中所说，我只是编造了数据类型Foo 和Bar。实际上，我正在处理非常不同的数据结构。

【解决方案3】：

对于它的价值，您可以将示例的简化版本改写为

data Bar' r = Zero | Succ r
type Bar f = fix (Bar' . f)

对于每一对自然变换eta1 :: f ~> g 和eta2 :: Bar' ~> h，我们得到一个自然变换(eta2 . eta1) :: (Bar' . f) ~> (h . g)。我们可以用显而易见的方式将这个自然变换提升到固定点上，得到fixed (eta2 . eta1) :: Bar f -> fix (h . g)。因此，当我们有 eta2 = id 时，您的“交错同态”只是这种构造的一个特例。

总的来说，这是一个相当标准的结构（特别是对于 f 是单子或共单子的情况），尽管我不确定它是否有一个被广泛认可的特定名称。

【讨论】：