是否可以在 Haskell 中为排序的二叉树创建 Functor 实例？

Question

假设我们有一个SortBinTree 类型的构造函数，例如，

data SortBinTree a = EmptyNode | Node a (SortBinTree a) (SortBinTree a);

仅当a 是Ord 类型类的实例时才有意义，因此大多数函数在其声明的开头都有:: (Ord a) =>，尤其是用于从列表创建此类树的函数。但是要教 Haskell，SortBinTree 是 Functor 类型类的一个实例，我们必须编写类似

instance Functor SortBinTree where
  fmap g tree = ...

这里的问题是我们要处理g :: a->b，其中b不一定是Ord类型类的实例。这使得编写这样的函数有问题，因为我们不能在创建 SortBinTree b 类型的元素时使用不等式。

这里有标准的解决方法吗？有什么方法可以定义fmap 仅针对b 的情况在Ord 类型类中？

Answer 1

不，Functor 类型类无法做到这一点。如您所述，the Prelude gives us¹

class Functor f where
  fmap :: (a -> b) -> f a -> f b

它无法对b 施加限制。我们可以定义一个OrdFunctor 类：

class OrdFunctor f where
  fmapOrd :: (Ord a, Ord b) => (a -> b) -> f a -> f b

如果我们有很多不同类型的Functors（EqFunctor、MonoidFunctor 等），这可能会很烦人，但是如果我们打开 ConstraintKinds 和 TypeFamilies，我们可以将其概括为受限仿函数类：

{-# LANGUAGE ConstraintKinds, TypeFamilies #-}
import GHC.Exts (Constraint)
import Data.Set (Set)
import qualified Data.Set as S

class RFunctor f where
  type RFunctorConstraint f :: * -> Constraint
  fmapR :: (RFunctorConstraint f a, RFunctorConstraint f b) => (a -> b) -> f a -> f b

-- Modulo the issues with unusual `Eq` and `Ord` instances, we might have
instance RFunctor Set where
  type RFunctorConstraint f = Ord
  fmapR = S.map

（通常，您会看到有关受限单子的内容；这是相同的想法。）

或者，as jozefg suggested，您可以编写自己的 treeMap 函数而不将其放入类型类中。没有错。

但是请注意，在将 SortBinTree 设为仿函数时应该小心；以下是不是fmap。 （不过，deriving (..., Functor) 会产生它，所以不要使用它。）

notFmap :: (Ord a, Ord b) => (a -> b) -> SortBinTree a -> SortBinTree b
notFmap f EmptyNode    = EmptyNode
notFmap f (Node x l r) = Node (f x) (notFmap l) (notFmap r)

为什么不呢？考虑notFmap negate (Node 2 (Node 1 EmptyNode EmptyNode) EmptyNode)。这将产生树Node (-2) (Node (-1) EmptyNode EmptyNode) EmptyNode)，这可能违反了你的不变量——它是向后排序的。²所以确保你的fmap是保持不变的。 Data.Set 将这些拆分为 map, which makes sure the invariants are preserved, 和 mapMonotonic, which requires you to pass in an order-preserving function。后一个函数的实现很简单，就像notFmap，但如果给定不合作的函数，可能会产生无效的Sets。

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¹The Data.Functor module also exposes the (<$) :: Functor f => a -> f b -> a type class method，但这只是为了防止fmap . const 有更快的实现。

² 但是，notFmap 是 fmap 来自 Hask 的子类别，其对象是具有 Ord 实例的类型，并且其态射是 order -preserving 映射 到 Hask 的子类别，其对象是 SortBinTrees 超过具有 Ord 实例的类型。 （模数关于“不合作”Eq/Ord 实例的一些潜在担忧，例如那些将Set 混淆为Functor 的实例。）

Answer 2

有两种选择，如果你的类型满足函子定律，那么正确的技巧是

{-# LANGUAGE DeriveFunctor #-}
data SortBinTree a = EmptyNode
                   | Node a (SortBinTree a) (SortBinTree a)
                   deriving Functor
-- Or a manual instance if you have some invariants that
-- need additional jiggering.

并确保它的所有操作都需要Ord 实例。如果有人决定让这棵树处于无用状态，那么修复它就是他们自己的工作。

但是，要使其正常工作，您必须满足函子定律

 fmap id         === id
 fmap f . fmap g === fmap (f . g)

因此，如果您从树中完全删除重复项，您将位于trouble。这就是为什么Data.Set 是Functor 的一个实例是可疑的，它违反了这条法律。

如果你违反了法律，那么你根本就不是函子。您不能向 Haskell 指定您只想处理 Hask 的子类别。在这种情况下，您应该只定义一个不同的函数

treeMap :: (Ord a, Ord b) => (a -> b) -> SortBinTree a -> SortBinTree b

在范畴论意义上，这仍然是一个函子，只是不是Functor 所说的那个。