可折叠与可遍历答案

【问题标题】：Foldable vs Traversable可折叠与可遍历
【发布时间】：2016-03-08 02:18:26
【问题描述】：

在深入研究Applicative的过程中，我来到了Traversable。虽然我已经从LYHGG知道Foldable，但是我还没有看到前者，所以我开始阅读Haskell wiki about Traversable。

阅读时，我明白为什么Foldable.fold 与Traversable.sequenceA 平行，而Foldable.foldMap 与Traversable.traverse 平行。

我还看到每个Traversable 也是一个Foldable 和一个Functor，并且sequenceA 和traversal 在彼此方面都有一个默认实现：

traverse f = sequenceA . fmap f
sequenceA = traverse id

所以，正如我在 LYHGG 中看到的，foldMap 是Foldable 的最小完整定义，我认为它与traverse 平行，所以fold（与sequenceA 平行）也将是一个最小的完整定义（它不是）...Foldable 不像 Traversable 那样是 Functor，所以我们不能应用这个：

foldMap f = fold . fmap f
fold = foldMap id -- this is ok

为什么不是每个Foldable 都是Functor，以及实际上不是Functor 的Foldable 实例是什么？

【问题讨论】：

Set 是Foldable 不是Functor 的经典示例。未装箱的向量也是如此。
@dfeuer 我将阅读更多关于Set 的信息以了解为什么它不是Functor，但是，集合可以被认为是不重复事物的容器......说，我无法很快弄清楚为什么它不是Functor 实例...
问题是Functor 没有给实现机会来约束它们的类型参数。想象一下，如果有人写了fmap f sf :: Int -> Integer -> Integer。 Integer -> Integer 类型甚至不是Eq 的实例，更不用说Ord，因此在映射时无法检查重复项。该函数可以将多个元素映射到相同的函数，并且您无法折叠重复项。
未装箱的向量只能包含“无法装箱”的东西，所以如果xs :: U.Vector Int、fmap Just xs 必须产生U.Vector (Maybe Int) 类型的东西，这不是真实的东西。
据我了解，Traversable 类是首先构思的（例如，McBride 和 Patterson，"Applicative Programming with Effects"；Gibbons 和 Oliveira，"The Essence of the Iterator Pattern"）。由于“不是Functors 的容器”问题，Foldable 被添加为超类。但是foldMap 与Const 应用程序不兼容，如 Gibbons 和 Oliveira 的论文所示。

标签： haskell functor applicative foldable traversable

【解决方案1】：

正如 dfeuer 所说，Set 是 Foldable 不是 Functor 的一个很好的例子。

考虑Set.map的类型：

map :: Ord b => (a -> b) -> Set a -> Set b

请注意，这几乎是fmap，但它需要一个额外的Ord b 约束。由于您有此约束，因此不能将其设为 Functor 的实例。

请注意，Set 不是 Haskell 上的函子，即使有此限制。如果巧妙地设置Eq 实例，我们可以违反fmap f . fmap g === fmap (f . g) 的法律。请参阅此Stack Overflow question 以进行进一步讨论。

如上所述，Set 是“Hask 的子类别”上的（endo）函子，具有作为集合的有序类型和 保序映射作为态射。

因此，即使不明显，我们无法将 Set 设为仿函数这一事实实际上暗示了一个真正的数学问题，而不仅仅是我们类型类机制的限制。

【讨论】：

我认为令人惊奇的是，它在数学上是一个 Functor，但由于这个限制，它不能是 Functor 类型类的 instance... 你不认为这类似于语言中的“不完美”？（无论如何，这种语言真的很漂亮、简洁、强大！）
@FtheBuilder 我编辑了我的答案以描述更多上下文。
我知道我不应该在评论中说“谢谢”，但真的，你的解释非常有趣！ :D
“作为态射的保序映射”的东西似乎很受限制；我天真地认为“保持平等”就足够了。你能评论一下吗？
@DanielWagner，我想知道同样的事情。保持秩序可以提高效率，但我认为这不是绝对必要的。