用 2x1 和 1x2 多米诺骨牌平铺 2xN 网格的方法有多少？答案

【问题标题】：Number of ways to tile a 2xN grid with forbidden positions with 2x1 and 1x2 dominoes?用 2x1 和 1x2 多米诺骨牌平铺 2xN 网格的方法有多少？
【发布时间】：2015-01-22 08:31:23
【问题描述】：

我很想知道解决这个问题的算法。问题陈述的正式描述是这样的——给定 N(

Input:
5
01000
00010

Output:
1

输入中的 0 代表一个空单元格和 1 个禁止单元格。我在这里Hexagonal Grid Tiling 发现了一个类似的问题。尽管稍微提到了使用位掩码动态编程解决这类问题，但我无法找到有关该技术的任何详尽解释。

PS：虽然我知道如何解决一般的网格平铺问题，但在这个问题中，只有当我们只给出空单元格时，才能形成递归式 F(n) = F(n-1) + F (n-2)，通过放置一个 1x2 多米诺骨牌或放置两个 2x1 多米诺骨牌分别覆盖第一列和前两列。这可以迭代解决，甚至对于大 N（比如 > 10^7），我们可以使用矩阵求幂技术。但我有兴趣了解 DP+Bitmasks 解决这类问题的技术。任何帮助将不胜感激。

【问题讨论】：

有趣的问题，但我认为这在 stackexchange 网络上的数学站点之一上更合适。
我会等待，如果我没有看到自己得到答案，我肯定会在那里发布。但是我觉得我在这里感兴趣的动态编程方面更多地属于 SO。即使 DP 的标签计数是 1362 >> 它在 Math SE (89) 中是什么 :)
这个特殊问题可以使用 FKT 在多项式时间内解决任意网格。

标签： c++ algorithm dynamic-programming bitmask tiling

【解决方案1】：

对于 i = n, n-1, ..., 1 你计算 f00 (i) = "如果 i 列包含 0,0 则从 i 列填充的组合数", f01 (i) = "如果第 i 列包含 0,1，则从第 i 列填充的组合”，f10 (i) = “如果第 i 列包含 1,0，则从第 i 列填充的组合数”，f11 (i) = “从第 i 列填充的组合数第 i 列，如果第 i 列包含 1,1"

显然f00(n)=f11(n)=1，f01(n)=f10(n)=0。

f00 (i) if i

f10 (i) for i

f01 (i) 的工作原理相同。

f11 (i) = f00, f01, f10 或 f11 (i + 1) 取决于下一列的内容。

在线性时间内很容易找到解决方案。

【讨论】：

f10(i) for i