数无的方法有多少种？

Question

这是我在解决问题时经常犯的错误。当参数处于最低极端时，我们如何确定递归函数的值是多少。一个例子会有所帮助：

给定 n，找出仅使用 2x1 块来平铺 3xN 网格的方法数。允许旋转方块。

DP解决方案很容易找到

f(n)：平铺 3xN 网格的方式数

g(n)：平铺 3xN 网格的方法数，在最右边一列截断 1x1 块

f(n) = f(n-2) + 2*g(n-1)

g(n) = f(n-1) + g(n-2)

我最初认为基本情况是 f(0)=0, g(0)=0, f(1)=0, g(1)=1。但是，这会产生错误的答案。然后我在某处读到 f(0)=1 并将其推断为

平铺 3x0 网格的方式数量是一种，因为只有一种方式我们不能使用任何平铺（2x1 块）。

我的问题是，按照这个逻辑，g(0) 不应该也是一个。但是，在正确的解决方案中，g(0)=0。一般来说，什么时候可以说无用的方法数是一？

Answer 1

关于你的平铺的具体问题，这样想：

• 有多少种方法可以“平铺 3*0 网格”？
  我会说：只有一种方法，不要做任何事情！而且你不能以任何其他方式“什么都不做”。 (f(0) = 1)

• 有多少种方法可以“平铺 3*0 网格，切掉特定的块”？
  我会说：嘿！这不可能！你不能切断特定的块，因为什么都没有。所以，无论如何，没有办法解决这个任务。 (g(0) = 0)

现在，让我们来看看一般情况：

• 没有关于零案例的“一般”规则。
• 根据您的问题，您可能能够以某种方式“解释”情况，并找到合理的值。 大多数时候（取决于您对“方式”的定义）“无所事事”的方式数是 1，而做不可能的事情的方式数是 0！
• 警告！能够以某种方式“解释”零情况不足以使关系正确！您应该重新检查您的递归关系（即您从以前的那些中获得第 n 个值的方式）是否也适用于零对一的情况，因为大多数情况下这将是一个“棘手的”情况。
• 如果您发现零情况很棘手或令人困惑，您可能会发现将递归关系建立在一些非零情况上会更容易。

Answer 2

在我看来，g(0) 是无效，因为无法从 3x0 网格中切割出 1x1 块。

无效值通常表示为 0、-∞ 或 ∞，但这在很大程度上取决于问题。放置某物的方式数量为 0 表示无效值是有意义的（否则您的计数将关闭）。使用min 时，您通常会使用∞。使用max 时，您通常会使用-∞（或可能为0）。

一般来说，方式数将 0 个对象或对象放置在 0 大小的空间中有意义为 1（即不放置任何对象）（所以 @987654328 @)。在许多其他情况下，有效值为 0。

但是这些远非规则（并且避免盲目遵守规则，因为你会受到例外的伤害）；我能给出的最佳建议 - 如有疑问，输入一些值，看看会发生什么。

在这种情况下，您可以轻松确定 g(1)、f(1)、g(2) 和 f(2) 的实际值应该是多少，并使用这些值来计算 g(0) 和 f(0 ):

g(1) = 1  
f(1) = 0  

g(2): (all invalid, since ? is not populated)
  |X  |X  ?X
  |?  ||  --
  --  ?|  --

g(2) = 0, thus g(0) = 0 - f(1) = 0 - 0 = 0  

f(2):
  ||  --  --
  ||  --  ||
  --  --  ||

f(2) = 3, thus f(0) = 3 - 2*g(1) = 3 - 2 = 1