c、printf、double：获取多于 15 个十进制数字

Question

我正在实现一个简单的算法来估计 c 中 double 的 sqrt，类似于我在 java 中学习的方法。

但是，当我使用 printf("Current guess: %.30f \n", guess);要打印我目前的猜测，我实际上得到了 30 位数字。我的印象是由于 IEEE，双精度数只能有 15 个十进制数字？这些数字是从哪里来的？

我的完整代码：

int main() {
// Finding the sqrt of x
double x = 1337.;
double high = x;
double low = 0.;
double guess;
double lastguess = -1.;
for(int i=0; i<1000; i++) {
    lastguess = guess;
    guess = low+(high-low)/2;
    if(compDouble(guess, lastguess)) {
        break;
    }
    if(guess*guess > x) {
        // Guess was too high
        // get the lower interval
        low = low;
        high = guess;
    } else {
        // Guess was too low, get the upper interval
        low = guess;
        high = high;
    }
    printf("Current guess: %.30f \n", guess);
}
printf("sqrt of %f is about %f", x, guess);
return 1;
}

输出：

Current guess: 668.500000000000000000000000000000 
Current guess: 334.250000000000000000000000000000 
Current guess: 167.125000000000000000000000000000 
Current guess: 83.562500000000000000000000000000 
Current guess: 41.781250000000000000000000000000 
Current guess: 20.890625000000000000000000000000 
Current guess: 31.335937500000000000000000000000 
Current guess: 36.558593750000000000000000000000 
Current guess: 39.169921875000000000000000000000 
Current guess: 37.864257812500000000000000000000 
Current guess: 37.211425781250000000000000000000 
Current guess: 36.885009765625000000000000000000 
Current guess: 36.721801757812500000000000000000 
Current guess: 36.640197753906250000000000000000 
Current guess: 36.599395751953125000000000000000 
Current guess: 36.578994750976562500000000000000 
Current guess: 36.568794250488281250000000000000 
Current guess: 36.563694000244140625000000000000 
Current guess: 36.566244125366210937500000000000 
Current guess: 36.564969062805175781250000000000 
Current guess: 36.565606594085693359375000000000 
Current guess: 36.565287828445434570312500000000 
Current guess: 36.565128445625305175781250000000 
Current guess: 36.565048754215240478515625000000 
Current guess: 36.565008908510208129882812500000 
Current guess: 36.565028831362724304199218750000 
Current guess: 36.565018869936466217041015625000 
Current guess: 36.565013889223337173461914062500 
Current guess: 36.565011398866772651672363281250 
Current guess: 36.565010153688490390777587890625 
Current guess: 36.565010776277631521224975585938 
Current guess: 36.565010464983060956001281738281 
Current guess: 36.565010620630346238613128662109 
Current guess: 36.565010542806703597307205200195 
Current guess: 36.565010581718524917960166931152 
Current guess: 36.565010601174435578286647796631 
Current guess: 36.565010591446480248123407363892 
Current guess: 36.565010596310457913205027580261 
Current guess: 36.565010598742446745745837688446 
Current guess: 36.565010597526452329475432634354 
Current guess: 36.565010598134449537610635161400 
Current guess: 36.565010597830450933543033897877 
Current guess: 36.565010597678451631509233266115 
Current guess: 36.565010597602451980492332950234 
Current guess: 36.565010597564452154983882792294 
sqrt of 1337.000000 is about 36.565011

Answer 1

我的印象是，由于 IEEE，双精度数只能有 15 个十进制数字？

好吧，那是错误的。

试试这个：

double d = 1.0e-45;
printf("d is %.60f \n", d);

输出：

d is 0.000000000000000000000000000000000000000000001000000000000000 

如您所见，十进制数字远不止 15 位。

小数位数取决于数字的值。非常小的数字可以有很多小数位（首先有很多零），而非常大的数字根本不能有任何小数位。一些非常大的数字甚至不能代表奇数。

标准 64 位双精度可以具有的最小非零（正）值是 2^-1074，即：

0.000......04940656.............47265625
            ^                          ^
            |                          |
            Decimal digit #324         Decimal digit #1074

使用以下代码尝试：

int main(void)
{
  assert(sizeof(double) == sizeof(uint64_t));

  union
  {
    uint64_t i;
    double d;
  } x;

  x.i = 1;  // The smallest non-zero positive double value
  printf("%.1100f \n", x.d);

  return 0;
}

Answer 2

我的印象是，由于 IEEE，双精度数只能有 15 个十进制数字？

这是不正确的。当 IEEE-754 binary64 格式用于 double 时，数字由 53 个二进制数字（位）表示有效数（浮点数的“小数”部分）以及符号和 2 的幂（指数）。每个 binary64 数字精确地代表一个特定的数字，并且它们相对于十进制数字的间距不均匀。

举个简单的例子，考虑有效数字为 1 但指数不同的数字。例如，考虑 +1•2⁰（符号 +，有效数字 1，指数 0）。在十进制中，这是“1”，只有一位。那么 +1•2⁻¹ 是“.5”，仍然只有一位有效数字。 +1•2⁻² 是“.25”。即使它的有效位只有一位，它也有两位有效数字。紧随其后的是“.125”、“.0625”、“0.03125”等。如您所见，十进制数所需的有效位数会增加，即使有效位数仍为 1。

因此，表示 binary64 数字所需的十进制位数取决于有效数和指数。

我们可以计算出一个 36 左右的数字可能需要多少个十进制数字。因为 10 有一个 2 的因数，所以 binary64 的指数每次减少（到更大的负值）可能需要多一个小数位来表示： 在 0.5 中，最后一位数字在 10^-1位置。在 .25 中，它位于 10^-2 位置，在 .125 中，它位于 10^-3 位置，依此类推。

要表示 36 左右的数字，二进制 64 必须使用 5 的指数，以便有效数字的最高位（通常标准化为 1 和 2 之间，包括 1 但不包括 2）缩放为 32。然后，在缩放后的数字中，有效数字中的位代表 2⁵, 2⁴, 2³,… 2^{5− 52}。最低有效位 2⁵⁻⁵² 是 2⁻⁴⁷。

因此，一些 36 左右的 binary64 数字，当用十进制表示时，小数点左侧有两位数，小数点右侧有 47 位，因此它们将有 49 个有效十进制数字。

binary64 格式允许指数低至 -1022，此时有效数字的最低有效位被缩放为 -1022-52 = -1074，因此以十进制表示最小的正 binary64 值需要小数点后 1074 位.

Answer 3

IEEE DOUBLE 大约有 16 个有效位。也就是说，如果您查看代表 DOUBLE 的十进制数字字符串，大约前 16 位之后的任何数字都将是“垃圾”。 （我忽略了前导零。）

所以，当然，您可以显示 30 位数字。但只有前半部分是可信的。

继续学习平方根；有一个简单的二次收敛算法；你的似乎是线性的。