如何找到覆盖有向循环图中所有节点的最短路径？答案

【问题标题】：How do I find the shortest path that covers all nodes in a directed cyclic graph?如何找到覆盖有向循环图中所有节点的最短路径？
【发布时间】：2009-04-25 15:36:40
【问题描述】：

我需要一个节点的有向循环图的最短路径示例（它应该从将作为输入的节点到达图形的所有节点）。

如果有例子，我需要C++，或者算法。

【问题讨论】：

标签： c++ algorithm graph-theory cycle shortest-path

【解决方案1】：

编辑：糟糕，误读了这个问题。感谢@jfclavette 接受这个。旧答案在最后。

您要解决的问题称为Travelling salesman problem。 potential solutions 有很多，但它是 NP 完全的，所以你无法解决大图。

旧答案：

您要查找的内容称为图形的girth。它可以通过将节点到自身的距离设置为无穷大并使用Floyd-Warshall 算法来解决。节点 i 的最短循环长度就是位置 ii 的入口。

【讨论】：

他想找到访问所有节点的最短路径，而不是返回原始的最短循环。至少这是我从问题中理解的。
这可能不完全是旅行商问题，因为似乎对节点仅访问一次的问题没有限制。所以这个问题不需要图有哈密顿圈。
另外，旅行商问题需要连接所有顶点。在上面的问题中，它并没有说明图的所有顶点都连接。

【解决方案2】：

在未加权的情况下：Breadth first search。在加权情况下：Dijkstra's。

【讨论】：

【解决方案3】：

在伪代码中：

//INPUT: graph G = (V,E)
//OUTPUT: shortest cycle length
min_cycle(G)
  min = ∞
  for u in V
    len = dij_cyc(G,u)
    if min > len
      min = len
  return min    

//INPUT: graph G and vertex s
//OUTPUT: minimum distance back to s
dij_cyc(G,s)
  for u in V
    dist(u) = ∞
                   //makequeue returns a priority queue of all V
  H = makequeue(V) //using dist-values as keys with s First In
  while !H.empty?
    u = deletemin(H)
    for all edges (u,v) in E
      if dist(v) > dist(u) + l(u,v) then
        dist(v) = dist(u) + l(u,v)
        decreasekey(H,v)

  return dist(s)

这在每个顶点上运行的 Dijkstra 略有不同。变异的迪克斯特拉斯有几个关键的区别。首先，所有初始距离都设置为∞，即使是开始顶点。二、起始顶点必须先入队列才能使确保它首先出现，因为它们都有相同的优先级。最后，变异的 Dijkstras 将距离返回到起始节点。如果没有返回到起始顶点的路径距离保持为∞。所有这些中的最小值从变异的 Dijkstras 返回是最短路径。由于 Dijkstras 运行最坏的情况是 O(|V|^2) 和 min_cycle 运行这种形式的 Dijkstras |V|时代周刊找到最短周期的最终运行时间是 O(|V|^3)。如果 min_cyc 返回 ∞ 则图是非循环的。

要返回最短周期的实际路径，只需稍作修改即可。

【讨论】：

【解决方案4】：

对于非加权图，BFS 将完成这项工作。由于您的图中存在潜在的循环，因此您需要跟踪访问过的节点（无论如何，您都需要为 BFS 执行此操作）。

对于加权图，可以使用 bellman-Ford 算法。它还能够检测周期。

【讨论】：