0/1 具有整数值和非理性重量的背包？答案

【问题标题】：0/1 Knapsack with integer values and irrational weights?0/1 具有整数值和非理性重量的背包？
【发布时间】：2015-01-14 10:48:25
【问题描述】：

标准的 0/1 背包问题适用于简单的 DP 解决方案：对于具有无理值、整数权重和最大权重为 W 的 n 不同对象，创建一个 n x W 数组 m 和令m[i, j] 为项目1 到i 和权重至多j 可实现的最大值。

我正在尝试解决权重不合理但值合理的问题。有人告诉我有一个O(nV) 解决方案，其中V 是所有值的总和。我想说这样的话：让m 成为n x V 数组，并让m[i, j] 成为最小可能的权重，以实现至少j 的值，项目1 到i。这将产生如下内容：

def knapsack(weights, values, max_weight):
    max_v = sum(values)
    m = [[0 for _ in range(max_v)] for _ in weights]

    for i in range(len(weights)):
        for j in range(max_v):
            if j < values[i]:
                m[i][j] = m[i - 1][j]
            else:
                m[i][j] = min(m[i - 1][j], weights[i] + m[i - 1][j - values[i]])

    for val, col in reversed(enumerate(zip(*m))):
        wt = min(col)
        if wt <= max_weight:
           return col

    return 0

但这不起作用：像m[0, 100] 这样的单元格被初始化为向下传播的无意义垃圾。我不确定如何解决这个问题，也找不到任何信息。看起来this question 会提供一种算法来填充每个单元格，但是调用每个单元格的成本太高了。

【问题讨论】：

这是不是一个错字，“权重是非理性的，但权重是有理的”，你能举个小例子吗？
是的，我的错。我还不小心从损坏的解决方案中删除了一些代码。
@PM2Ring 不，目前没有，我认为我没有使用任何特定于 numpy 的东西？不过，已经晚了，我可能犯了一个错误。
另外，m = [[0] * max_v] * len(weights) 可能不会做你想做的事。例如，m=[[0]*5]*3;m[1][1]=7;print(m) 打印 [[0, 7, 0, 0, 0], [0, 7, 0, 0, 0], [0, 7, 0, 0, 0]]。详情请见stackoverflow.com/q/240178/4014959。
一般情况下 DP——也许你见过这个？ rosettacode.org/wiki/Knapsack_problem/Unbounded/…

标签： python algorithm knapsack-problem

【解决方案1】：

让我们将m 的含义更改为精确到给定值的最小权重。然后我们想要一个像

这样的初始化

m = [[(float('inf') if j else 0) for j in range(max_v + 1)] for _ in range(len(weights) + 1)]

我使用正无穷大作为不可行的标记（我还修复了表格大小中的两个错误）。然后循环可能看起来像这样（未经测试）。

for i in range(len(weights)):
    for j in range(max_v + 1):
        if j >= values[i]:
            m[i + 1][j] = min(m[i][j], m[i][j - values[i]] + weights[i])
        else:
            m[i + 1][j] = m[i][j]

然后我们必须调整输出提取以反映m的新定义。

【讨论】：