在位置 i 插入元素并根据第 i 个元素返回信息答案

【问题标题】：Insert element at position i and return info based on i first elements在位置 i 插入元素并根据第 i 个元素返回信息
【发布时间】：2015-12-14 20:28:54
【问题描述】：

假设我有一个整数列表：

2, 1, 3, 1, 4, 2, 5, 3, 2

我希望能够在i 位置插入一个新整数。所以假设i 是 4，我想插入数字 7。结果将是：

2, 1, 3, 7, 1, 4, 2, 5, 3, 2

插入后，我想根据i 及以下位置的数字接收一些信息。例如，第一个 i 数字的总和。在这种情况下，它将是2 + 1 + 3 + 7 = 13。

我希望能够一遍又一遍地重复这个过程。

我用 C++ 编写了一个使用 std::list 的程序。以下是将n 的位置i 插入List 然后返回i 第一个数字的总和：

比较最后一个插入位置k 和i。如果它更低，则为每个j: k < j < i 计算sum[j]，如下所示：sum[j] = sum[j-1] + List[j] - O(n)
找到位置i - O(n)
在i 位置插入n，存储k = i - O(1)
计算并返回sum[i] = sum[i-1] + n - O(1)

这是否可以更有效地完成，也许使用不同的数据结构？在 O(logn) 中可能吗？如果是那怎么办？

【问题讨论】：

乍一看，这听起来像是 Binary Indexed Tree 的工作
n 元素的总和将花费 O(n)，但使用 std::vector<int> 会更快。对于std::vector<int>，找到该位置是O(1)。你可以用它换取 O(n)。在您的短名单上使用std::vector<int> 会快很多。在大型数据集上，这将取决于您需要转移多少，但向量在其操作中就在后面。
只是想提一下，位置 4 实际上是 1 所在的位置，因为数组中的位置从 0 开始计数

标签： c++ algorithm performance data-structures

【解决方案1】：

如果您想要一个开箱即用的解决方案，而不需要滚动新的数据结构或使用第三方库，std::vector 将是您的最佳选择。算法复杂度为：

比较最后一个插入位置k 和i。如果低于，计算总和：O(n)
如果涉及某种搜索，则查找位置 i：O(1) 或 O(n)。如果涉及搜索，它仍然会比std::list 快得多。
在位置i插入n：O(n)
计算并返回sum[i] = sum[i-1] + n:O(1)

从算法/可扩展性的角度来看，这可能看起来并不好，但由于算法复杂性，我们通常会看到可观的性能改进。这是由于参考的局部性（特别是空间局部性）。

机器可以非常快速地依次遍历连续数据，因为可以在从缓存行中逐出之前访问多个相邻元素。 std::vector 绝对可以做到这一点，我们最终受益于它对上述所有 4 种情况的快速、连续、顺序访问。

std::list，当与std::allocator 一起使用时（尤其是在并非所有节点都同时分配的上下文中），由于它缺乏空间局部性，往往会引发大量缓存未命中（也部分地，由于列表指针的开销减少了可以放入缓存行的元素数量，在这种特殊情况下，基本上因为我们需要每个微不足道的整数两个列表指针。

请注意，在针对您的特定问题进行调整的标准库之外进行冒险时，可能存在更优化的解决方案，如另一个不错的答案中所述。深入研究较低级别细节的另一个角度是寻找您自己的自定义分配器，它可以真正帮助几乎任何类型的链接结构。这个答案侧重于香草 C++。在处理顺序容器时，vector 通常是你最好的选择（除非有其他强有力的理由），因为它是连续的、缓存友好的表示。

【讨论】：

【解决方案2】：

正如@andyg 在 cmets 中提到的，这是一项适合 Fenwick 树或二进制索引树的工作。二叉索引树可以在O(logn) 中进行插入和更新，在O(logn) 中进行查询（从开始到索引的总和）。有一篇关于二叉索引树的非常好的文章here。

这项工作也可以用段树来完成，但是由于二叉索引树的实现要简单得多，我建议使用二叉索引树。

【讨论】：