计算有向图中的欧拉路径的数量？

Question

• 我想在有向图中计算所有 Euler PATH。
• 电路对我不好，只有路径。

我正在做一个问题，我已经得出一个点，知道快速的路径数量会有所帮助。 目前，我已经（在 C++ 中）编写了一个递归函数，可以找到所有这些函数，但它的复杂性增长很快，所以我的算法很快就会变慢。我的算法是~O(2^n)。如果可能的话，我想要一个更快的。

我已经研究过这个主题，但我只能在有向和无向图中找到欧拉电路的证明（对于 NP 完全或多项式）和算法。但同样，我在有向图中寻找欧拉路径。

我的图只有两个节点，但有很多边，应该只触及一次，就像在欧拉路径中一样。

总结一下：

1. 欧拉路径。
2. 有向图表。
3. 只有两个节点。
4. 高边沿计数。
5. 边缘成本相同。

这是一张图片来说明可能的设置。

Answer 1

如果你想生成所有可能的路径，我认为加速是不可能的，因为你必须打印很多路径。但如果您只需要计算它们，则可以更快地完成。

你有 4 种类型的边。 1) 0-0； 2) 1-1; 3）0-1； 4)1-0

首先，让我们数一下我们有多少类型 3 和 4 的边。

假设：

S1 - 类型 1 的边总数

S2 - 类型 2 的边总数

S3 - 类型 3 的边总数

S4 - 类型 4 的边总数

如果 |S3 - S4| > 1 路径不存在。

对于您的图表，S3 = 1，S4 = 2。假设我们有一条路径。让我们修复类型 3 和 4 的边缘。

那么路径将如下所示：

(1-1)*, 1-0, (0-0)*, 0-1, (1-1)*, 1-0, (0-0)*

(1-1)* - 表示 0 次或多次重复边 1-1。

现在算法看起来很明显：

1. 生成 (1-0) 条边的排列
2. 生成 (0-1) 条边的排列
3. 生成 (0-0) 条边的排列
4. 生成 (1-1) 条边的排列
5. 在不超过 S1 和 S2 的部分中查找 S3 和 S4 的所有组成。
6. 写下答案。

步骤 1-4 将花费 O(S1!* S2!* S3!* S4!) 时间（S1 + S2 + S3 + S4 = n）。

所以算法会很慢。

我们可以使用积的规则找到总数。

步骤 1-4 给了我们 S1！ * S2！ * S3！ * S4！组合。

可以在 O(N) 时间内计算第 5 步组合。只需计算本文中的前缀和：https://en.wikipedia.org/wiki/Composition_(combinatorics)