具有最小和最大固定成本的线性规划

Question

我需要您的帮助来解决以下优化问题。 我有一个最大化混合整数线性规划问题。 我想考虑最低和最高固定费用。

我是这样弄的。。

cost = max(minimum fixed cost , cost rate * x)
cost >= minimum fixed cost
cost >= cost rate * x
cost = min(maximum fixed cost , cost rate * x)
cost <= maximum fixed cost
cost <= cost rate * x

但是，这变成了不可行的解决方案。 请您帮我优化这样的问题。

Answer 1

分段线性函数

我认为你的意思是：

让

A = minimum fixed cost / cost rate
B = maximum fixed cost / cost rate

那你要对分段线性函数建模：

cost = minimum fixed cost   if x < A
       cost rate * x        if A <= x <= B 
       maximum fixed cost   if x > B

在 MIP 模型中使用分段线性函数不是问题。您可以通过不同的方法做到这一点：

• 使用额外的二进制变量（参见 (1)）
• 使用 SOS2 变量（参见 (1)）
• AMPL 和 Gurobi 等系统具有表达分段线性函数的特殊工具。

示例配方

具有 SOS2 变量的公式如下所示：

引入数据点px和py

  px     py
  --------------------------
  0      minimum fixed cost
  A      minimum fixed cost
  B      maximum fixed cost
  C      maximum fixed cost

我们假设0<=x<=C。 IE。 C 是x 的上限。

然后做：

  set p = {1,2,3,4}
  sos2 variables lambda(p)
  sum(p, lambda(p)) = 1
  x = sum(p, lambda(p)*px(p))
  cost = sum(p, lambda(p)*py(p)) 

参见例如(2)

你的方法有什么问题

请注意，您的方法（显示在问题中）不正确：

cost >= minimum fixed cost
cost >= cost rate * x
cost <= maximum fixed cost
cost <= cost rate * x

真的

minimum fixed cost <= cost <= maximum fixed cost
cost = cost rate * x

将x 限制为A <= x <= B。

参考文献

(1) H.Paul Williams，“数学编程中的模型构建”，Wiley

(2)GAMS: Piecewise linear functions with SOS2 variables

Answer 2

分段线性函数：

cost = 0.02 x  if 0   <= x <= 500
       0.03 x  if 500 <= x <= 1500 
       0.04 x  if 1500<= x <= 10000

SOS2 解决方案：

x[a, b, c, d, e] = (x1[a, b, c, d, e] * 0)    + 
                   (x2[a, b, c, d, e] * 500)  + 
                   (x3[a, b, c, d, e] * 1500) +
                   (x4[a, b, c, d, e] * 10000) 

cost[a, b, c, d, e] = (x1[a, b, c, d, e] * 0       * 0   )+ 
                      (x2[a, b, c, d, e] * 500     * 0.02)+
                      (x3[a, b, c, d, e] * 1500    * 0.03)+
                      (x4[a, b, c, d, e] * 10000   * 0.04)

x1[a, b, c, d, e] + x2[a, b, c, d, e] + x3[a, b, c, d, e] + x4[a, b, c, d, e]>= 0

x1[a, b, c, d, e] <= y1[a, b, c, d, e]
x2[a, b, c, d, e] <= y1[a, b, c, d, e] + y2[a, b, c, d, e]
x3[a, b, c, d, e] <= y2[a, b, c, d, e] + y3[a, b, c, d, e]
x4[a, b, c, d, e] <= y3[a, b, c, d, e]    

y1[a, b, c, d, e] + y2[a, b, c, d, e] + y3[a, b, c, d, e]  = 1

我就是这样做的。但是，求解器仍然显示不可行的解决方案。你能看出这个公式有什么问题吗？！