使用整数规划检查遏制答案

【问题标题】：Checking containment using integer programming使用整数规划检查遏制
【发布时间】：2015-08-11 16:51:39
【问题描述】：

对于这个问题，region 是 Z^d 的子集，由具有整数系数的有限多个线性不等式定义，其中 Z^d 是整数 d 元组的集合。例如，非负整数对(x, y) 与2x+3y >= 10 的集合构成了一个具有d=2 的区域（非负性只是强加了额外的不等式x>=0 和y>=0）。

问题：有没有一种好方法，使用整数规划（或其他方法？）来检查一个区域是否包含在有限多个其他区域的联合中？

我知道一种检查收容的方法，我将在下面描述，但我希望有人能够提供一些改进，因为它不是太有效。

这是我知道的检查收容措施的方法。首先，整数编程库可以直接检查区域是否为空：在整数编程术语中（据我理解），区域的空性对应于模型的不可行性。我使用 gurobi 库编写了一些代码来检查空虚，它在实践中似乎对我关心的那种区域效果很好。

现在假设我们要检查一个区域 X 是否包含在另一个区域 Y 中（问题的一个特例）。令Z 是X 与Y 的补集的交集。那么X 包含在Y 中当且仅当Z 为空。现在，Z 本身并不是我所理解的区域，而是区域Z_1, ..., Z_n 的联合，其中n 是用于定义Y 的不等式数量。我们可以通过检查每个Z_1, ..., Z_n 是否为空来检查Z 是否为空，我们可以按照上面的说明进行操作。

一般情况可以用完全相同的方式处理：如果Y 是区域Y_1, ..., Y_k 的有限联合，那么Z 仍然是区域Z_1, ..., Z_n 的有限联合，因此我们只需检查每个区域Z_i 为空。如果Y_i 由m_i 不等式定义，那么n = m_1 * m_2 * ... * m_k。

总而言之，我们可以将包含问题简化为空性问题，图书馆可以直接解决。问题是我们可能必须解决大量的空性问题来解决遏制（例如，如果每个Y_i 仅由两个不等式定义，那么n = 2^k 与k 呈指数增长），因此这可能需要很多时间。

【问题讨论】：

我不确定我是否遵循您的方法如何推广到许多地区。特别是，属于区域的并集并不意味着与每个区域的补集的交集是空的。示例：R1 = {(0,0), (0,2), (1,0), (2,2)}; R2 = {(1,0), (1,1), (3,1), (3,0)}。区域 R = R1 union R2 \ {(0,0), (0, 1)} 确实包含在两个区域的并集中，但它与 R1 和 R2 的补集的交集不为空。

标签： gurobi integer-programming

【解决方案1】：

你真的不能期待一个简单的答案。假设A 由0 <= x_i <= 1 形式的所有约束定义。 A 可以被认为是真值表所有可能行的集合。给定任何形式的逻辑表达式，例如x or (not y) or z，可以表示为线性不等式例如x + (1-y) + z >= 1（以及 0-1 约束）。使用这种方法，任何合取范式 (CNF) 的布尔公式都可以表示为Z^n 中的一个区域。如果A 定义如上且B_1, B_2, ...., B_k 是对应于CNF 的区域列表，则A 包含在B_i 的联合中当且仅当这些CNF 的析取是重言式。但是重言式检查是 NP 完全问题的典型示例。

这并不是说它不能有效地简化为 ILP（它本身是 NP 完全的）。我没有看到任何直接的方法可以做到这一点，尽管我怀疑用于识别冗余约束的一些技术是相关的。

【讨论】：

感谢您的回复。我应该说，在我的情况下，d（=变量数）相当小（大约 15），但 k（=联合中的区域数）很大（大约 100）。因此，您提到的情况 (0
我的办公室里有一个名为 Optimization and Computational Logic（由 McAloon 和 Tretkoff 编写）的小部分，其中有一小部分是关于他们谈论的称为 Disjunctive Programming 的东西关于多面体区域的联合。谷歌搜索该术语有很多点击量，其中一些看起来很有希望，但不是以非常直接的方式。有趣的是，分支定界算法本身可以被认为是一种解决方法，它通过将原始可行区域表示为较小可行区域的联合来工作，因此也许某种分支定界可以起作用。