在非标准二维平面中旋转矩阵

Question

我在弄清楚如何在二维平面中旋转矩阵时遇到了一些问题，因为我的坐标系不是标准的数学坐标系，我的平面有一个倒置的 y 轴，这意味着屏幕上的 y 值越高。我也想顺时针旋转矩阵而不是标准逆时针旋转。

因此，如果我尝试说明我希望它如何工作：

O = 原点 X = 要旋转的点

那么0度是这样的：

XXX
 O      

我希望 90 度看起来像这样：

  X
 OX
  X

180 度应该是这样的：

 O
XXX

270 度应该是这样的：

X
XO
X

关于如何计算一个点在这个平面上旋转后的新 x 和 y 有什么想法吗？

Answer 1

顺时针而不是逆时针只是意味着翻转角度上的标志。

要获得完整的结果，我们只需转换为“标准坐标”，进行旋转，然后转换回来：

坐标变换及其逆是：

(x') = ( 1  0 ) (x)
(y')   ( 0 -1 ) (y)

逆时针旋转是：

(x') = (  cos(angle) -sin(angle) ) (x)
(y')   (  sin(angle)  cos(angle) ) (y)

所以顺时针旋转是：

(x') = (  cos(angle)  sin(angle) ) (x)
(y')   ( -sin(angle)  cos(angle) ) (y)

总而言之：

(x') = ( 1  0 )(  cos(angle)  sin(angle) ) ( 1  0 )(x)
(y')   ( 0 -1 )( -sin(angle)  cos(angle) ) ( 0 -1 )(y)

将矩阵相乘得到：

(x') = (  cos(angle)  sin(angle) ) (x)
(y')   ( -sin(angle)  cos(angle) ) (y)

现在，您可能已经意识到，这实际上是与逆时针方向旋转“标准坐标”相同的矩阵。

或者在代码中：

// Angle in radians
double x2 =  cos(angle) * x1 - sin(angle) * y1;
double y2 =  sin(angle) * x1 + cos(angle) * y1;

例如，如果角度是 180 度，cos(angle) 是 -1，sin 是 0，给出：

double x2 =  -x1;
double y2 =  -y1;