我正在尝试编写一个程序来查找一个介于 0 和 100 之间的数字 n，使得 n! + 1 是一个完美的正方形。我正在尝试这样做，因为我知道只有三个，所以这是为了测试我的 Python 能力。
【问题讨论】：
标签： python math perfect-square
这是另一个仅使用整数的版本，通过添加 2 的递减幂来计算平方根，例如 intsqrt(24680) 将被计算为 128+16+8+4+1。
def intsqrt(n):
pow2 = 1
while pow2 < n:
pow2 *= 2
sqrt = 0
while pow2:
if (sqrt + pow2) ** 2 <= n:
sqrt += pow2
pow2 //= 2
return sqrt
factorial = 1
for n in range(1, 101):
factorial *= n
if intsqrt(factorial + 1) ** 2 == factorial + 1:
print(n)
【讨论】：
math.sqrt 总是返回一个float，即使这个浮点数恰好是4.0。正如文档所说，“除非另有明确说明，否则所有返回值都是浮点数。”
所以，你对type(math.sqrt(x)) == int 的测试永远不会是真的。
您可以尝试通过检查浮点数是否表示整数来解决此问题，如下所示：
sx = math.sqrt(x)
if round(sx) == sx:
甚至有a built-in method 尽可能地做到了这一点：
if sx.is_integer():
但请记住，float 值并不是实数的完美表示，并且总是存在舍入问题。例如，对于一个太大的数字，sqrt 可能四舍五入 为整数，即使它确实不是一个完美的正方形。例如，如果math.sqrt(10000000000**2 + 1).is_integer() 是True，即使显然这个数字不是一个完美的平方。
我可以告诉你这在你的价值观范围内是否安全，但你能说服自己吗？如果不是，你不应该只是假设它是。
那么，有没有一种方法可以检查不受float 道路问题的影响？当然，我们可以使用整数算术来检查：
sx = int(round(math.sqrt(x)))
if sx*sx == x:
但是，正如 Stefan Pochmann 所指出的，即使这个检查是安全的，这是否意味着整个算法都是安全的？不; sqrt 本身可能已经四舍五入到您失去整数精度的程度。
因此，您需要一个准确的sqrt。您可以通过使用具有巨大配置精度的decimal.Decimal 来做到这一点。这将需要一些工作和大量内存，但这是可行的。像这样：
decimal.getcontext().prec = ENOUGH_DIGITS
sx = decimal.Decimal(x).sqrt()
但是ENOUGH_DIGITS 是多少位数字？那么，100!+1 到底需要多少位数字？
所以：
decimal.getcontext().prec = 156
while n <= 100:
x = math.factorial(n) + 1
sx = decimal.Decimal(x).sqrt()
if int(sx) ** 2 == x:
print(sx)
n = n + 1
如果您考虑一下，有一种方法可以将所需的精度降低到 79 位，但我将把它作为练习留给读者。
您大概应该解决这个问题的方法是使用纯整数数学。例如，您可以通过使用Newton's method 来确定一个整数是否是对数时间的平方，直到您的近似误差小到可以检查两个相邻的整数。
【讨论】：
decimal 的sqrt 并试图解决您的问题，但遇到了问题。为什么它告诉我 floor(sqrt(8)) 是 3？ from decimal import *; getcontext().prec = 1; getcontext().rounding = ROUND_FLOOR; Decimal(8).sqrt()
1.20 的 sqrt 和1.10 和prec=3？），然后看看 IEEE 854 是如何实际定义 @ 987654352@ 以确保它不需要使用此方法或等效方法。但它绝对闻起来像虫子。 （当然这不会影响这种情况，因为int(3) ** 2 == 8 会是假的。）
sqrt 被明确定义为四舍五入，这是 IBM 的 General Decimal Arithmetic Specification 所要求的。显然decimal 模块遵循这个作为它的主要定义，而不是 IEEE 854-1987（它在第 4 节中说“......第 5 节中指定的每个操作。应该像它首先产生一个正确到无限精度的中间结果一样执行，并且具有无限范围，然后将结果四舍五入……”）。
对于非常大的数字，最好完全避免使用浮点平方根，因为您会遇到太多精度问题，甚至无法保证您会在正确答案的 1 个整数值范围内。幸运的是 Python 本身就支持任意大小的整数，因此您可以编写一个整数平方根检查函数，如下所示：
def isSquare(x):
if x == 1:
return True
low = 0
high = x // 2
root = high
while root * root != x:
root = (low + high) // 2
if low + 1 >= high:
return False
if root * root > x:
high = root
else:
low = root
return True
然后你可以像这样遍历从 0 到 100 的整数：
n = 0
while n <= 100:
x = math.factorial(n) + 1
if isSquare(x):
print n
n = n + 1
【讨论】：
math.sqrt 返回的数字绝不是 int，即使它是整数。How to check if a float value is a whole number
【讨论】：