由特定函数定义的 Mandelbrot 集

Question

我正在试验画布，我正在尝试修改 this piece of code，但不幸的是我不明白其中的某些部分。

我的问题是 - 如何自定义上述代码，例如由

f(z) = c^e(-z) 

（公式取自一本有分形例子的书）？

我知道我需要更改这部分代码：

function computeRow(task) {
    var iter = 0;
    var c_i = task.i;
    var max_iter = task.max_iter;
    var escape = task.escape * task.escape;
    task.values = [];
    for (var i = 0; i < task.width; i++) {
        var c_r = task.r_min + (task.r_max - task.r_min) * i / task.width;
        var z_r = 0, z_i = 0;

        for (iter = 0; z_r*z_r + z_i*z_i < escape && iter < max_iter; iter++) {
            // z -> z^2 + c
            var tmp = z_r*z_r - z_i*z_i + c_r;
            z_i = 2 * z_r * z_i + c_i;
            z_r = tmp;
        }
        if (iter == max_iter) {
            iter = -1;
        }
        task.values.push(iter);
    }
    return task;
}

但不知道 z_i、z_r、c_i、c_r 的真正含义以及我如何将它们绑定到上述公式。

任何帮助将不胜感激。

Answer 1

复数有两部分：实数和虚数。
所以z = a + b*i，其中a 是实部，b*i 是虚部。
在为z=z^2+c 提供的示例中，其中z=z_r+z_i*i

注意： i*i = -1
所以z^2 = (z_r+z_i*i)*(z_r+z_i*i) = z_r*z_r+2*z_r*z_i*i + z_i*i*z_i*i = z_r*z_r+2*z_r*z_i*i - z_i*z_i
现在添加c:z_r*z_r+2*z_r*z_i*i - z_i*z_i + c_r + c_i*i 分组

z_r*z_r+2*z_r*z_i*i - z_i*z_i + c_r + c_i*i = (z_r*z_r - z_i*z_i + c_r) + (2*z_r*z_i + c_i)*i

所以我们从代码中得到tmp var - 是新z 的真实部分

tmp = z_r*z_r - z_i*z_i + c_r

和虚部

2*z_r*z_i + c_i

由于z = z_r + z_i * i，我们需要赋值

z_r = z_r*z_r - z_i*z_i + c_r
z_i = 2*z_r*z_i + c_i

更新：f(z) = e^z - c

首先，几个复杂的形式：x = a+b*i = |x|(cos(p)+i*sin(p)) = |x|*e^(i*p)
其中|x| = sqrt(a*a + b*b) 和p = b/a

在我们的例子中：p=z_i/z_r、|z| = sqrt(z_r*z_r+z_i*z_i)

e^z = e^(z_r+z_i*i) = e^z_r * (e^z_i*i) = e^z_r * (cos(p)+i*sin(p)) = (e^z_r * cos(p)) + i * (e^z_r * sin(p))

减去c:

(e^z_r * cos(p)) + i * (e^z_r * sin(p)) - c_r - c_i*i = (e^z_r * cos(p) - c_r) + i * (e^z_r * sin(p) - c_i)

所以 新 z

z_r = (e^z_r * cos(p) - c_r) = (e^z_r * cos(z_i/z_r) - c_r)
z_i = (e^z_r * sin(p) - c_i) = (e^z_r * sin(z_i/z_r) - c_i)