在 SMTLib 中建模谓词逻辑确实是可能的；虽然与 Isabelle/HOL 等常规定理证明器相比可能有点麻烦。解释结果可能需要相当多的眯眼。
话虽如此，下面是使用 SMTLib 对您的示例问题进行的直接编码：
(declare-sort A)
(declare-sort B)
(declare-sort C)
(declare-fun q (A B C) Bool)
(declare-fun p (A B C) Bool)
(assert (forall ((b B))
(exists ((a A))
(exists ((c C)) (or (p a b c) (q a b c))))))
(check-sat)
(get-model)
几点说明：
-
declare-sort 创建一个未解释的排序。它本质上是一组非空值。 （也可以是无限的，除了它不是空的事实之外，没有做出任何基数假设。）对于您的具体问题，实际上这种类型似乎并不重要，因为您没有使用它的任何一个直接元素。如果这样做，您可能还想尝试“声明”排序，即数据类型声明。这可以是一个枚举，或者更复杂的东西；取决于问题。对于提出的当前问题，未解释的排序就可以了。
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declare-fun 告诉求解器有一个具有该名称和签名的未解释函数。但除此之外，它既不定义它，也不以任何方式限制它。您可以添加关于它们的“公理”，以更具体地了解它们的行为方式。
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支持量词，正如您在constraint1 的编码方式中看到的forall 和exists。请注意，SMTLib 不太适合代码重用，通常在更高级别的绑定中进行编程。 （提供了来自 C/C++/Java/Python/Scala/O'Caml/Haskell 等的绑定，具有相似但不同程度的支持和特性。）否则，它应该易于阅读。
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我们最终发出check-sat 和get-model，要求求解器创建一个满足所有断言约束的宇宙。如果是这样，它将打印sat 并有一个模型。否则，如果没有这样的宇宙，它将打印unsat；或者如果它无法决定，它也可以打印unknown（或永远循环！）。 SMT 求解器难以处理量词的使用，大量使用量词无疑会导致unknown 成为答案。这是一阶谓词演算的半可判定性的固有局限性。
当我通过 z3 运行此规范时，我得到：
sat
(
;; universe for A:
;; A!val!1 A!val!0
;; -----------
;; definitions for universe elements:
(declare-fun A!val!1 () A)
(declare-fun A!val!0 () A)
;; cardinality constraint:
(forall ((x A)) (or (= x A!val!1) (= x A!val!0)))
;; -----------
;; universe for B:
;; B!val!0
;; -----------
;; definitions for universe elements:
(declare-fun B!val!0 () B)
;; cardinality constraint:
(forall ((x B)) (= x B!val!0))
;; -----------
;; universe for C:
;; C!val!0 C!val!1
;; -----------
;; definitions for universe elements:
(declare-fun C!val!0 () C)
(declare-fun C!val!1 () C)
;; cardinality constraint:
(forall ((x C)) (or (= x C!val!0) (= x C!val!1)))
;; -----------
(define-fun q ((x!0 A) (x!1 B) (x!2 C)) Bool
(and (= x!0 A!val!0) (= x!2 C!val!0)))
(define-fun p ((x!0 A) (x!1 B) (x!2 C)) Bool
false)
)
这需要稍微眯眼才能完全理解。第一组值告诉您求解器如何为未解释的排序 A、B 和 C 构建模型；带有见证元素和基数约束。您可以在很大程度上忽略这部分，尽管它确实包含有用的信息。例如，它告诉我们A 是一个包含两个元素的集合（名为A!val!0 和A!val!1），C 也是如此，而B 只有一个元素。根据您的限制，您将获得不同的元素集。
对于p，我们看到：
(define-fun p ((x!0 A) (x!1 B) (x!2 C)) Bool
false)
这意味着p 总是False；即，无论传递给它的参数是什么，它都是空集。
对于q，我们得到：
(define-fun q ((x!0 A) (x!1 B) (x!2 C)) Bool
(and (= x!0 A!val!0) (= x!2 C!val!0)))
让我们更简单地重写一下：
q (a, b, c) = a == A0 && c == C0
其中A0 和C0 分别是A 和C 的成员；请参阅上面的排序声明。所以，只要a 是A0，c 是C0，它就会说q 是True，而b 是什么并不重要。
你可以说服自己这个模型确实满足你想要的约束。
总结一下；在 z3 中对这些问题进行建模确实是可能的，尽管有点笨拙和大量使用量词会使求解器永远循环或返回 unknown。解释输出可能有点麻烦，但您会意识到模型将遵循类似的模式：首先是未解释的排序，然后是谓词的定义。
旁注
正如我所提到的，在 SMTLib 中对 z3 进行编程既麻烦又容易出错。这是使用 Python 接口完成的相同程序：
from z3 import *
A = DeclareSort('A')
B = DeclareSort('B')
C = DeclareSort('C')
p = Function('p', A, B, C, BoolSort())
q = Function('q', A, B, C, BoolSort())
dummyA = Const('dummyA', A)
dummyB = Const('dummyB', B)
dummyC = Const('dummyC', C)
def teaches(a, b):
return Exists([dummyC], Or(p(a, b, dummyC), q(a, b, dummyC)))
constraint1 = ForAll([dummyB], Exists([dummyA], teaches(dummyA, dummyB)))
s = Solver()
s.add(constraint1)
print(s.check())
print(s.model())
这也有它的一些特点，但如果您选择用 Python 对 z3 进行编程，希望它能为您的探索提供一个起点。这是输出：
sat
[p = [else -> And(Var(0) == A!val!0, Var(2) == C!val!0)],
q = [else -> False]]
它与 SMTLib 输出具有完全相同的信息，但编写方式略有不同。
函数定义样式
请注意，我们将 teaches 定义为常规 Python 函数。这是 z3py 编程中的常用风格，因为它产生的表达式在调用时被替换。您也可以创建一个 z3 函数，如下所示：
teaches = Function('teaches', A, B, BoolSort())
s.add(ForAll([dummyA, dummyB],
teaches(dummyA, dummyB) == Exists([dummyC], Or(p(dummyA, dummyB, dummyC), q(dummyA, dummyB, dummyC)))))
请注意，这种定义风格将依赖于内部的量词实例化，而不是 SMTLib 的通用函数定义工具。因此，您通常应该更喜欢 python 函数样式，因为它可以转换为“更简单”的内部构造。通常，它也更容易定义和使用。
需要 z3 函数定义样式的一种情况是，如果您定义的函数是递归的，并且它的终止依赖于符号参数。有关此问题的讨论，请参阅：https://stackoverflow.com/a/68457868/936310