寻找四元数，表示从一个向量到另一个向量的转换

Question

简介。

以前，我 asked a question 将 rgb 三元数转换为四元数。在那个问题之后，我设法得到了单位四元数，但我怀疑它们的内部结构。没有简单的方法来操作它们，并将 luma 和 chroma 分开，因为它们是单位长度的四元数。根据我的感觉，亮度应该以实部或整幅度编码；并且颜色“chroma”信息应该被编码在虚部中。

今天我决定改进，采用另一种方法，不同于上面链接中的第一种方法。我认为它可以成功，因为四元数不仅可以存储旋转（单位四元数），还可以存储缩放。首先，我将开始解释我的下一个想法。我将在以下解释中使用 GLSL 着色器语法。

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方法描述和问题主体。

对于图像的某个像素，让我们在单位立方体内设想一个 3D 矢量vec3 u，其中正坐标位于 [0.0, 1.0] 的封闭范围内，并表示完整的 rgb 颜色空间.所以现在u 的坐标、u.x、u.y 和u.z 将相应地表示该像素的红色、绿色和蓝色值。然后让我们取一个纯白色矢量const vec3 v = vec3(1.0, 1.0, 1.0);。让我们定义一些四元数q，这样我们的向量u就是“v，用四元数q旋转和缩放”。简单来说，q 必须回答问题“如何转换v，以便得到最初设想的颜色u？”。让我们介绍一下“旋转和缩放”操作的功能：vec3 q2c(in vec4 q, in vec3 v)。我将其称为“四元数到颜色”转换器。

编写q2c(q, v) 非常简单，just as defined：q2c(q, v) == (q*vec4(v, 0.0))*q'。这里，“*”运算符表示quaternion multiplication；让它成为一个函数vec4 qmul(in vec4 q1, in vec4 q2)。并且“q'”表示q 的conjugate，让它成为vec4 qconj(in vec4 q)。省略它们的简单实现（您可以在完整源代码中找到），我们将使用经典代码：

vec4 q2c(in vec4 q, in vec3 v) {
    return qmul(qmul(q, vec4(v, 0.0)), qconj(q));
}

所以现在我们有了 q2c(q,v) 函数，它通过旋转和缩放一些选定的 3D 矢量 v 将四元数 q 转换为颜色。

问题是如何找到那个四元数q？

从程序员的角度来看，目标是编写反向函数vec4 c2q(in vec3 u, in vec3 v)——对应的“颜色到四元数”转换器。

请注意，您不应在没有充分理由的情况下触摸q2c()。例如，其逻辑中存在严重错误，导致“无法解决任务”，您可以证明这一点。

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如果你的答案是正确的，你如何检查？

确实，如果您设法来回转换，则检查方法将源于您将获得初始值的事实。所以检查条件是对于任何非零长度v，u 必须始终等于q2c(c2q(u, v), v)。 v 的长度必须非零，因为不能“缩放零”来获得“某物”。

为了方便起见，我准备了 testing program，使用 shadertoy.com 服务。

您需要一台体面的计算机，具有有效的互联网连接和支持 webGL 的网络浏览器（我使用的是 Chrome）。程序应该可以在任何 GPU 上运行，甚至可以嵌入到英特尔的处理器中。它甚至适用于我的低端智能手机！

要测试您的答案，您应该将建议的公式（以 GLSL 语法编写）放入 c2q() 函数中。然后按应用按钮，您的更改将生效：

左边的图像代表一些不变的源像素。右半部分将包含像素，由q2c(c2q()) 来回转换。显然，两半必须在视觉上相等，你不应该注意到任何垂直线。 可能会出现一些小的数学（不明显）错误，但这只是由于浮点的性质 - 它的有限精度和可能的舍入误差。

您可以随意编辑和试验，更改只会在您的计算机上本地完成，您不会破坏任何东西。如果视频在第一次打开时没有播放（shadertoy 错误） - 尝试暂停/取消暂停它。享受吧！

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c2q()尝试大厅

如果一切正确，图像的右侧（处理后的）应该等于左侧（原始）。在这里，我将回顾不同的结果，这些结果是通过在 c2q() 实现中放置一些东西而不是 xxxxx 获得的：

vec4 c2q(vec3 u, vec3 v) {
    return xxxxx;
}

让我们继续吧！

• 最初我认为这必须有效： vec4(cross(u, v), dot(u, v)):

• SE answers 之一： vec4( cross(u, v), sqrt( dot(u, u) * dot(v, v) ) + dot(u, v) ):

• 在他的提示下“不要忘记规范化 q”： normalize(vec4( cross(u, v), sqrt( dot(u, u) * dot(v, v) ) + dot(u, v) )):

• @minorlogic 的评论，似乎更近了一步： 将所有q 的组件按sqrt( length(v)/length(u) ) 缩放， vec4(cross(u, v), dot(u, v)) * sqrt( length(u)/length(v) ):

• 交换比率： vec4(cross(u, v), dot(u, v)) * sqrt( length(v)/length(u) ):

Answer 1

我的尝试：

vec4 c2q(vec3 u, vec3 v) {
    float norm_q = sqrt(length(u) / length(v));
    vec4 u4 = vec4(normalize(u), 0.0);
    vec4 v4 = vec4(normalize(v), 0.0);
    return norm_q * (qmul(u4, v4 + u4) / length(v4 + u4));
}