计数使用长度为 1,2,3,4,......m.(其中 m<=n) 的步骤到达第 N 步的方法数

Question

我得到了一个编号为 10⁵ 的号码 n。我必须找到多种方法，使用长度为 1 or 2 or 3 or.....or m 的步长从地面到达第 n^th 步，此处为 m

由于答案可能太大，因此输出它以 10⁹+7 为模。

#include<iostream.h>
using namespace std;

#define ll long long
#define MOD 1000000007

ll countWays_(ll n, ll m){
    ll res[n];
    res[0] = 1; res[1] = 1;
    for (ll i=2; i<n; i++)
    {
       res[i] = 0;
       for (ll j=1; j<=m && j<=i; j++)
         res[i] =(res[i]%MOD+ res[i-j]%MOD)%MOD;
    }
    return res[n-1];
}

ll countWays(ll s, ll m){
    return countWays_(s+1, m);
}
int main (){
    scanf("%lld%lld",&s,&m);
    printf("%lld\n",countWays(s,m));
    return 0;
}

作为O(m*n)的复杂度，我想降低它。

Answer 1

您的内部循环将res[i-1] + res[i-2] + ... + res[i-m] 添加到结果中。

让s 是res 中第一个i 元素的总和。然后你可以简单地将s[i-1] - s[i-m-1] 添加到结果中。

ll countWays_(ll n, ll m){
    ll res[n];
    res[0] = 1; res[1] = 1;
    s[0] = 1; s[1] = 2;
    for (ll i=2; i<n; i++)
    {
       if (i <= m)
           res[i] = s[i-1] % MOD;
       else
           res[i] = (s[i-1] - s[i - m - 1] + MOD) % MOD; 
       s[i] = (s[i-1] + res[i]) % MOD;
    }
    return res[n-1];
}

新的复杂度将是O(n)。您甚至可以将s 作为一个数组去掉，并使用一个变量来进行更多的记账。

Answer 2

我认为 use 可以使用变量 Sum 来存储从 i-m+1 到 i 的 res 的总和，如下所示：

ll mod(ll a, ll b){ 
    return (a%b+b)%b; 
}
ll countWays_(ll n, ll m){
    ll res[n],sum;
    res[0] = 1; res[1] = 1;
    sum = res[0] + res[1];
    int head_sum = 0;
    for (ll i=2; i<n; i++)
    {
       if ((i - head_sum) > m) {
            sum=mod((sum- res[head_sum]),MOD);
            head_sum++;
       }  
       res[i] = sum;
       sum = mod((sum% MOD + res[i]% MOD),MOD);
    }
    return res[n-1];
}