可能有多少种不同的组合？

Question

给定的位置数为 m，位数为 n。您必须以每个数字至少出现一次的方式填充这 m 个位置。

例如

给定 m 为 4 和 n 为 3，因此您有 4 个位置和 3 个数字。现在，这个可能的组合总数为 36。

举个简单的例子：

m=3 和 n=2(a,b 假设) 那么可能的组合是

aba aab abb bab bba baa

因此只有 6 种组合是可能的。是否有任何公式，因为我需要找到可能的组合数量？

Answer 1

回答问题

答案是n!S(m,n)，其中S 是Stirling numbers of the second kind。

例如，对于m=4, n=3、n!=6、S(4,3)=6，那么n!S(m,n)=36 就是预期的答案。

为什么要用这个公式？

第二类斯特林数S(m,n) 计算将一组m 元素划分为n 非空子集的方法数。所以对于这个问题，S(m,n) 计算将m 场所划分为n 组的方式的数量，每个组对应一个数字。分区后，我们应该为每个组指定一个数字，并且有n!的方法可以做到这一点。因此，答案是n!S(m,n)。