获得排序组合数量的算法？

Question

假设有 “n” 个数字，我们从中选择 “p” 个数字 （p 小于 n），这样选择的“ p" 数字被排序。可以重复选择的号码。我们如何计算我们可以选择的组合的数量？例如，如果我们有一组数字，例如 {1,2,3,4,5,6} (n=6)，我们将从集合 (p=3) 中选择 3 个已排序的数字。所以我们可以有 {1,2,3}, {1,1,2}, {2,3,6}, {4,5,5}, {5,5,5} .... . 由于所有这些组合都已排序，因此它们是有效的。我们如何才能找到这样的排序组合的数量？

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我从排序这个词的意思是，当我们从 n 个元素的 一组数字 中选择 p 元素时，被选中的p 元素应该被排序。

举个小例子：

如果集合是{1,2,3,4}（所以 n = 4）并且我们要选择 3 个元素（p = 3），那么我们可以选择 p 个元素（有替换）的方式数将是 4*4*4=64。所以选择将有{1,1,1},{1,1,2},{1,1,3}{1,1,4},{1,2,1}.....{3,1,1}...{4,4,4}。但在这些选择中，并非所有选择都已排序。在此示例中，{1,2,1} 和 {3,1,1} 未排序。

我想获得排序选择的数量。
谢谢。

Answer 1

我看不到排序如何影响结果。对于每一个可能的重复组合，都会有一个对应的排序排列。

因此，问题归结为 n 个元素的组合数，一次取 p 并替换。那就是直接的公式， (n-1+p)C(p) = factorial(n-1+p) / (factorial(p) * factorial(n-1) )

这是explanation of the formula 和another one from wolfram。

Answer 2

@BiGYaN 的回答 here 是正确的，但在获得这个结果的过程中缺乏幽默感（即使在提供的链接上），所以我决定添加这个 -

1. 首先OP不应该拿集合来类比，因为集合根据定义不考虑顺序，而且包含唯一项。

2. 如果我们采用同样的例子，其中 n = 6 或 [1,2,3,4,5,6]，现在我们要得到长度为 3 的序列，这样 -

   pattern = d1

我们需要这样的序列：{[1,1,1], [1,1,2], .... , [2,2,3], [2,2,4],... }。 现在，对于这样的序列，从左侧扫描模式并尝试推理我们是否要增加数字。

例如：从 d1 的左侧开始，并说明是否要在此处增加 d1，如果您决定不 - d1 将是“1”，现在继续在 d2 之前提出相同的问题，如果您再次决定不起来，d2 又是'1'。

您可以随时选择加注 5 次，因为范围是 [1-6] 并且 d1 至少应该是 6，如果您决定加注 5 次以获得 [6,6,6]。

所以，问题就变成了为 5 ups 选择合适的位置

[up up up up up d1 d2 d3]

这可能是 [up d1 up up up up up d2 d3] 产生 [2,6,6]，或者 [d1 up up up d2 up d3 up] 产生 [1,4,5] 或任何类似的组合。

所以，实际上答案是 - C(5 up's + 3 d's, 5 up's) 或者， 更一般的

C(n-1 up's + k digits, n-1 up's) or C(n-1+k, n-1)

其中，要从 n 个事物中按排序顺序选择 k 个事物。

Answer 3

您可以从一组n 元素中选择带有替换的k 元素的方式数量与您可以从一组n + k - 1 元素中选择不带替换的k 元素的方式数量相同。后一个值为二项式系数n+k-1 choose k，其值为(n+k-1)!/(k! (n-1)!)

非正式演示：

假设我有 n 个蓝色盒子。我把它们排成一排（这样它们就被排序了），然后拿了k个红球。我把红球放在行中我喜欢的任何地方，除了最后，所以行必须仍然以蓝色框结束。现在，对于每个红球，我选择以下蓝色框。如果两个或多个红球并排排列，则它们都对应同一个蓝色框。

所以每一个红球和蓝盒子的排列都对应着一些蓝盒子替换的选择，而每一个蓝盒子的选择都对应着红球和蓝盒子的一些排列。

红球和蓝盒子有几种排列方式？我的行必须以一个蓝色盒子结束，所以我把那个拿走，现在我可以用我选择的任何方式排列剩余的 n-1 个蓝色盒子和 k 个红色球。或者，换句话说，我可以从 k + n-1 个位置中选择 k 个，然后在这些位置放置红球，用蓝色框填充剩余的位置。