如何降低子集和问题的时间复杂度

Question

所以最近我一直在尝试解决一些有趣的问题，但一直卡在这个问题上。

给定一组对象 1 到 N。n1 个值为 0 的对象和 n2 个值为 1 的对象和 n3 个值为 2 的对象。 需要计算总和为 3 或其倍数的所有子集。

n1+ n2 + n3 = N

我已经能够解决这个问题，但无法降低这个问题的时间复杂度。 我的解决方案仍然具有指数时间复杂度。我正在尝试降低时间复杂度，以便我可以在 5 秒内运行 N = 100,000 的大型集合。

这是我偶然发现的另一个简单但直观的解决方案，但时间复杂度又是问题所在。

def mask(lst, m):
    # pad number to create a valid selection mask
    # according to definition in the solution laid out
    m = m.zfill(len(lst))
    return map(lambda x: x[0], filter(lambda x: x[1] != '0', zip(lst, m)))

def subset_sum(lst, target):
    # there are 2^n binary numbers with length of the original list
    for i in range(2**len(last)):
        # create the pick corresponsing to current number
        pick = mask(lst, bin(i)[2:])
        if sum(pick) == target:
            yield pick

我不需要确切的编码解决方案，但如果你能指出我正确的方向并且任何编程语言都可以，我想知道解决方案的逻辑/方法。

Answer 1

看起来，给定一个数字数组（全部为 0、1 或 2），您希望返回这些数字的每个子集，总和为 3 的倍数，并且您希望以多项式方式进行。

这是不可能的。

要查看这一点，请考虑数组 [2,1,0,0,0,0,0,...,0]。为了得到 3 的总和，我们将始终需要前两个数字，但除此之外，任何子集的总和为 3。因为我们有 N-2 0，这给出了符合要求的 2**(N-2) 子集的总数。无法在多项式时间内返回指数数量的答案。

Answer 2

所以这里的一个关键知识是和必须是 3 的倍数，即 sum = 0 (mod 3)。

这意味着您可以在任何子集中包含任意数量的 n1，因为它们不会改变总和。

因此，您可以立即将问题简化为从 n2 和 n3 中找到总和为 0（mod 3）的子集，然后将所有可能的 2**n1 子集添加到这些子集中。请注意，对于 n1 的任何显着值（例如 50 以上），列出它们变得无法计算。

但是很容易计算：

那么如何从 n2 和 n3 中找到 sum = 0 (mod 3) 的集合。我们知道 n2 中的任何元素都会将和加一，给定 n2 中的 m 个元素，我们可以计算出可能有多少个元素

所以是一个松散的计数伪代码：

def f(n1,n2,n3):
    for i in range(0,n2+1):
        # i elements of n2
        # compute i%3
        # if i%3 0 then we can pick j = 0,3,6,9 ... elements from n3
        # if i%3 1 then we can pick j = 1,4,7,10 .. elements from n3
        # if i#3 2 then we cannot j = 2, 5, 8, 11 .. elements from n3
        # compute the combination c = (n choose i) * (n choose j) for each j
        # for each c multiply by 2**n1 (adding on all possible subsets from n1)