计算包含集合所有元素的子集集合

Question

给定一个包含 M 个 1 的集合 S(M)，计算所有非空子集的集合，使得每个集合的并集生成 S(M)。子集的基数也可以是 K，其中 1

S(M) = {1,1,1,1}, K = 2.

possible collections can be 
{{1,1},{1,1}},
{1},{1},{1,1}},
{{1,1},{1},{1}}

我已经看过几个答案，但我相信它们与我的不同。

我还阅读了Stirling number of second kind，但我仍然希望将子集的基数条件合并到该公式中。

我编写了一个可能的递归解决方案，但它不适用于较大的 M 值。

如果有人需要更多信息，请告诉我。

任何帮助或指导将不胜感激。

问候

阿杰

Answer 1

如果我正确理解了这个问题中的术语，您是在问有多少种方法可以将长度为 M 的序列 ABCDEFGHIJ... 划分为单词（例如, ABC DE FGH IJ ...) 每个长度不大于K。 （对于给出的示例，答案是五个：ABCD、AB CD、A BC D、AB CD 和 AB CD。）这是stars and bars 解决的问题的一种对偶，因为限制是大小子集的数量而不是它们的数量。

我没有尝试为此提供封闭形式的解决方案，但直接dynamic programming 攻击在 O(M^2 K) 时间内起作用：令 C_n 为前 n 个字母的可能性数。 C_0=1，对于所有 nC_n 为 0。对于 n>0，我们有 C_n=sum(i=[1..K]) C_(n-i)。只需按顺序计算值，直到达到 C_M。 （当然，将最后一个 K 值保留在用作 SIPO shift register 的队列中就足够了。）

请注意，值变大的速度非常快：M=100 和 K=2，我得到 5.7e20 种可能性；将 K 更改为 10 得到 6.1e29。提到的 10^5 的 M（又是 K=2）给出 4.2e20898。因此，我将 M 的额外因素包含在对应于任意精度算术的复杂度中。

Answer 2

方法应该是

Given M and K

Find the max number of divisions(subsets)
Find the min number of divisions(subsets)

Iterate from max to min using i
-Apply DP to find different combinations of sizes of subsets. 
-A permutation of each combination should yield a count for that number of combinations(i). 
-Sum up all the counts.

下面是带有 DP 的此逻辑的 Java 实现。变量step 和toGo 分别对应M 和K。我尝试用一​​些随机数运行它，但很低。

注意：您还需要更新静态数组维度 当使用 M 的巨大值时。

import java.util.Arrays;
public class HelloWorld{


    public static int step = 4;
    public static long[][] dMem = new long[100][100];

     public static void main(String []args){

        int toGo = 30;
        int max = toGo;
        int min = toGo/step;
        long temp = 0;

        long count = 0;
        for(int i = max; i >= min; i--){
            temp = nSteps(i, toGo);
            temp = temp == -1 ? 0 : temp;
            count += temp;
           // System.out.println(count+"\n");
        }
        System.out.println("Num of ways = "+count);
     }

     public static long nSteps( int n, int toGo ){

         long steps = 0, temp = 0;
         //System.out.println(" n = "+n+" toGo = "+toGo);
         if( n == toGo ) return 1;
         if( n > toGo || n <= 0 || toGo <= 0) return -1;
         if( dMem[n][toGo] != 0 ) return dMem[n][toGo];
         for( int i = 1; i <= step; i++){
             temp = nSteps( n-1, toGo-i );
             temp = temp == -1 ? 0 : temp;
             steps += temp;
         }
         steps = steps == 0 ? -1 : steps;
         dMem[n][toGo] = steps;
         return steps;
     }
}