实现这种二叉树的最佳方法是什么？答案

【问题标题】：What is the best way to implement this type of binary tree?实现这种二叉树的最佳方法是什么？
【发布时间】：2011-11-30 06:20:59
【问题描述】：

假设我有一棵高度为 h 的二叉树，其元素为 x1、x2、... xn。

xi 元素最初位于第 i 个最左边的叶子。树应该在 O(h) 时间内支持以下方法

add(i, j, k) 其中 1
get(i)：返回第i个最左边叶子的值。

该属性的内部节点应该存储什么？

注意：我不是在寻找确切的答案，但任何关于如何解决问题的提示都会很好。

【问题讨论】：

这是作业吗？如果是这样，您可以将标签作业添加到您的问题中吗？谢谢你:)

标签： algorithm data-structures binary-tree

【解决方案1】：

据我了解，第 xi 个元素的位置永远不会改变，而且树不是搜索树，搜索仅基于节点的位置。

可以在非叶子顶点中存储一个偏移量，表示其后代的值变化。

add(i,j,k) 将从根开始，在树中加深，当且仅当它的所有后代都在[i,j] 范围内时，将节点的值增加 k。如果它增加了该值，则不会发生进一步的加深。
注意1：在单个add() 操作中，您可能需要添加多个数字。
注意 2： 实际上，您最多需要添加 O(logn) = O(logh) 值 [说服自己为什么。提示：直到n 的数字的二进制表示需要O(logn) 位]，这稍后会告诉你[再次，确保你理解为什么]O(logh) 需要复杂性。

get(i) 然后是微不足道的：总结从根到第 i 个叶子的值，然后返回这个总和。

由于这似乎是作业，我不会发布伪代码，本指南应该可以帮助您开始这项作业。

【讨论】：

在“当且仅当 ...”部分中，您是否假设节点按顺序遍历？
你正在增加一个非叶子节点的值，你可以随意遍历它，inorder只是一种可能，无论如何，你不需要遍历超过2*h顶点，最多 2 个叶子。
实际上，我需要为每个内部节点存储最多 O(1) 的空间。我知道 Knuth 有一个聪明的算法来迭代 O(1) 辅助空间中的二叉树，时间为 O(nlogn)：stackoverflow.com/questions/791052/… 所以我正在考虑将此解决方案转换为我的解决方案，但看不到如何......也许暂时添加来自某些叶子的反向引用以某种方式可以解决问题，因为 add() 操作不返回任何内容.. 它只是帮助我回答 get(i) 操作..
每个内部节点都需要O(1) 空间，只是每个节点的偏移值。此外，您可以确保算法使用O(1) 空间运行，如果您向每个顶点添加一个额外的“父”节点，如果没有它，递归会导致O(h) 总空间，平均为O(1) 节点, 因为h <= n.
阿米特，你错过了我评论的重点。 Re "当且仅当节点的所有后代都在 [i,j] 范围内时，将节点的值增加 k" -- 在中序遍历中，如果节点的所有后代都在范围内，则该节点也是。在前序或后序遍历中，节点的所有后代都在范围内，节点本身可能在范围内，也可能不在范围内。