边缘数和循环检测？答案

【问题标题】：Number of Edges and Cycle Detection?边缘数和循环检测？
【发布时间】：2015-02-12 08:03:51
【问题描述】：

我遇到了一个具有挑战性的问题：当我们知道 O(|V|) 而不是 O(|V|+|E|) 的边数时，我们可以检测一个简单的无向图是否有环。

我知道有一个O(|V|) 算法可以找出循环是否存在。但是上面这句话说，知道边数？！谁能形容它的真假？

【问题讨论】：

【解决方案1】：

在无向图中，如果图是连通的，并且有比使图连通所需的边多，则它包含一个循环。换句话说，有 V 个顶点的图需要连接 V-1 条边。任何额外的边都必须连接已经在同一个组件中的两个顶点，从而创建一个循环。

换句话说，如果图包含多于 V-1 条边，则它包含一个循环。

【讨论】：

如果我们对连通图或非连通图一无所知？
我们只能确定图是否有超过 V-1 条边（并且图是连通的或不连通的）。如果它是断开的并且包含少于 V-2 个边，它可能包含一个循环，但这种方法没有帮助。总而言之，如果图，无论是连接的还是断开的，都有超过 V-1 条边，它包含一个循环。如果它是断开的并且包含超过 V-2 个边，则它包含一个循环。如果它包含少于 V-2 条边，它可能包含一个环。
所以你的意思是知道边的数量并计算 O(|V|) 中的顶点并将其与 V-2 进行比较，那么我们确定它是否有循环？（任何简单的无向图）？
“计算 O(|V|) 中的顶点”是什么意思？对连通性一无所知，任何简单的无向图如果包含多于 V-1 条边，则必须包含一个环。为了证明这一点，请考虑一组 V 点。连接所有这些 V 点的 MST 具有 V-1 条边。如果添加另一条边，则连接两个已经在同一个组件中的顶点，从而创建一个循环。
所以你的意思是我上面问题的第一句话是真的？