BFS 树转图

Question

假设我们为一个顶点为 {A,B,C,D,E,F,G,H} 的无向图获得以下以节点 D 为根的 BFS 树。 如何确定原始图中是否存在特定边？

这是一道选择题：

以下哪条边在原始图中不存在？

1. （F，G）
2. （乙，乙）
3. （A，G）
4. （E，H）

Answer 1

你无法确切地知道图中哪些边在，但你可以确定一些是（即 BST 中的）和一些不是（否则 BST 会有看起来不同）：

1. BST 中的每条边也是图中的一条边
2. 允许从根到某个节点的路径比 BST 中这两个节点之间的最短路径短的每条边都不是图的成员。

让我们看看以下边缘：

1. (F,G)

如果这条边在图中，那么从 D 到 F 的最短路径将是 DGF，长度为 2，但在 BST 中，从 D 到 F 的路径长度为 3。这是不一致的，因为 BST 总是在图中找到根节点和任何其他节点之间的最短路径。

1. (B,E)

这将允许从 D 到 E 的路径长度为 3，这与 BST 一致。所以这个可能是图中的一条边，但没有有到。

1. (A,G)

这将允许从 D 到 A 或从 D 到 G 的路径长度为 2，这与 BST 一致，因为 BST 在这两种情况下都提供更短的路径。所以这个可能是图中的一条边，但没有有到。

4. (E,H)

这将允许从 D 到 E 的路径长度为 3，这与 BST 一致。所以这个可能是图中的一条边，但没有有到。

在这四个边中，只有 (F,G) 是明确的情况：该边不能在图中。

Answer 2

BFS 树中的边是原始图中边的子集，并且多个原始图可能给出相同的 BFS 树，因此您的问题的答案是：

• 如果 BFS 树有一条边 => 原始图也有这条边。
• 如果 BFS 树没有边 => 原始图可能有也可能没有这条边。
  
  所以并不总是可以知道原始图是否有边。
  

将 MCQ 问题添加到原始问题后回答：
BFS 的工作方式是逐级处理的，这意味着在处理 level(i+1) 中的任何节点之前，将处理 level(i) 中的所有节点。
因此，在将 L4 中的任何节点添加到队列之前，应将 L3 中的所有节点添加到队列中，因此如果 (F,G) 在原始图中退出，则节点 F 应在 L3 中显示为节点 G 的子节点L4的...所以答案是边缘（F，G）。

Answer 3

节点的层级差不超过1，创建BFS树只是层级问题。

B 距离 E 仅一级。 E和H也是如此。 A和G在同一个级别，所以差为0。

F 和 G 相隔 2 层，因此它们可能不会出现在图中 - 如果它们之间的边存在，那么 BFS 树可能不会费力地遍历其他节点，这些节点当前位于第 3 层（ C、B 和 H)，在 F 之前。