Codility 挑战 - 为什么这个解决方案有效？

Question

问题：

给定一串数字，计算作为任何回文的字谜的子词（一致子序列）的数量。

例子：

对于输入字符串“02002”，结果应为 11，即：

“0”、“2”、“0”、“0”、“2”、“00”、“020”、“200”、“002”、“2002”、“02002”

我可以看到下面的解决方案有效，但我不明白为什么。特别是我不明白内循环的意义。谁能解释一下这背后的逻辑？

#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#include <stdio.h>

#define M 1000000007
#define COLORS 10
#define SUBSETS (1 << (COLORS))

int solution(char *S) {
    int len, result;
    int *values;
    int v, idx, middle, mask;

    result = 0;
    values = calloc(SUBSETS, sizeof(int));
    //new_values = calloc(SUBSETS, sizeof(int));
    len = strlen(S);
    mask = 0;

    for (idx = 0; idx < len; idx++) {
        v = S[idx] - '0';
        mask ^= (1 << v);
        values[mask ^ (1 << v)] += 1;
        result = (result + values[mask]) % M;
        for (middle = 0;  middle < COLORS; middle++) {
            result = (result + values[mask ^ (1 << middle)]) % M;
        }
    }
    return result;
}

如果需要更多详细信息，请访问：https://codility.com/programmers/task/winter_lights/。

Answer 1

对于每个idx，您要计算i，这样从i 到idx 的灯光可以形成一个回文。这意味着每种类型的灯都有偶数个，或者除了一个（位于回文中间）之外的所有灯都有偶数个。

代码使用一个技巧来计算i，以避免 O(n^2) 行为。在处理索引idx 处的光之后，数组values 包含每个m 的数量i<idx，这样从0 到i 的光序列包含每个光的偶数或奇数（取决于m 的位）。例如，values[3] 包含初始灯光序列的数量（最多 idx，其中包含奇数个灯光 0 和 1，以及偶数个其他灯光）。

使用这个数组，计算以idx 结尾的改组回文数很容易：如果直到idx 的掩码是mask，那么所有灯数为偶数的回文数数与该数相同具有相同掩码的左序列（即：values[mask]）。类似地，除了奇数一盏灯（middle）之外，具有偶数盏灯的回文数与带有掩码mask^(1<<middle)的左序列数相同。