使用较少位的无符号 qword（64 位）的值范围？

Question

我正在寻找一种表示值范围的方法： 0 - 18446744073709551615 使用少于 8 个字节。

我试图想一些方法可以做到，但没有任何效果。 理论上，例如： 使用单个字节来表示至少 2 个字节的位序列。 但是，2 个字节有 65536 种不同的位组合，而单个字节只给了我们 0-255 的取值范围（256 种组合）。

最好的方法可能是改变位的含义。这很好，但不会有任何精度损失。

我开始认为这根本不可能，尽管我想获得其他人关于该主题的意见和理论。

有两条规则： #1 不能有任何精度损失（即所有数字 0 - 18446744073709551615 必须是可表示的）。 #2 从标准 64 位格式转换后，需要的字节数永远不会超过 7 个字节（56 位）。

这些规则使这变得特别困难。

Answer 1

这些规则使这变得特别困难。

是的，很难证明是不可能的。

如果您可以为每个可能的 64b 值无损压缩 8 个字节到小于 8 个字节，您可以继续重复该过程，直到您的 1TB 文件约为 7 个字节。

还有很多其他的信息论论据说明为什么这是不可能的。例如鸽巢原则：n 位只有 2^n 个唯一的位模式，因此任何小于 64 位的东西都不能对每个可能的 64 位值都有唯一的表示。

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您可以有用的是Huffman coding 或类似的：如果某些 64b 值比其他值更常见，则不太复杂的可变长度编码方案可以节省总字节数。 但要使用可变长度编码方案表示所有 64b 值，某些值的编码将占用超过 8 个字节。

存在更高级的熵编码方法，并用于现代视频编解码器。 （例如 x264 的 CABAC）。

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更多理论，维基百科的无损压缩文章有一个Limitations section。

另见：

• cstheory.SE: Which is the limit of lossless compression data? (if there exists such a limit)

• Kolmogorov complexity