为什么在tensordot中没有保留痕迹

Question

我正在尝试取三个密度矩阵的张量积并在乘积基础中表达它。这些矩阵中的每一个都有迹线 1，理论上，乘积矩阵也应该如此。但是在 numpy 中这样做似乎会产生一些意想不到的效果。即使将中间数组重塑为二维形式也会给出相同的答案。

In [31]: rho1
Out[31]: 
array([[0. , 0. , 0. , 0. , 0. ],
       [0. , 0.1, 0. , 0. , 0. ],
       [0. , 0. , 0.2, 0. , 0. ],
       [0. , 0. , 0. , 0.3, 0. ],
       [0. , 0. , 0. , 0. , 0.4]])

In [32]: np.trace(rho1)
Out[32]: 1.0

In [33]: rho2
Out[33]: 
array([[0.2, 0. , 0. , 0. , 0. ],
       [0. , 0.2, 0. , 0. , 0. ],
       [0. , 0. , 0.2, 0. , 0. ],
       [0. , 0. , 0. , 0.2, 0. ],
       [0. , 0. , 0. , 0. , 0.2]])

In [34]: np.trace(rho2)
Out[34]: 1.0

In [35]: rho3
Out[35]: 
array([[0.5, 0. , 0. , 0. , 0. ],
       [0. , 0.5, 0. , 0. , 0. ],
       [0. , 0. , 0. , 0. , 0. ],
       [0. , 0. , 0. , 0. , 0. ],
       [0. , 0. , 0. , 0. , 0. ]])

In [36]: np.trace(rho3)
Out[36]: 1.0

In [37]: rho = np.tensordot(rho1, np.tensordot(rho2, rho3, axes=0), axes=0)

In [38]: np.trace(rho.reshape(125, 125))
Out[38]: 0.010000000000000002

In [39]: rho = np.tensordot(rho1, np.tensordot(rho2, rho3, axes=0).reshape(25,25), axes=0)

In [40]: np.trace(rho.reshape(125, 125))
Out[40]: 0.010000000000000002

我在这段代码中真的找不到任何错误，所以我觉得我误解了 tensordot 和 reshape 的工作原理。但我并没有真正从文档中得到任何东西。有人可以帮我解决这个问题吗？

Answer 1

简答：

我猜你正在寻找克罗内克张量积：np.kron():

rho = np.kron(rho1, np.kron(rho2, rho3))

而这一次：

np.trace(rho)
Out[22]: 1.0000000000000002

详情：

为什么您的解决方案不起作用？

因为np.reshape() 不使用“正确”维度顺序重塑您的数组，您最终可以置换某个维度以获得所需的结果：

rho = np.moveaxis(np.tensordot(rho1, np.moveaxis(np.tensordot(rho1, rho2, axes=0),[0,1,2,3],[0,2,3,1]).reshape((5,5)), axes=0),[0,1,2,3],[0,2,3,1]).reshape((125,125))

会输出正确的结果，不过既然np.kron存在，那就有点矫枉过正了。

其实你认为np.tensordot(rho1,rho2,axes=0)相当于：

np.einsum('ik,jl',rho1,rho2)

但实际上np.tensordot(rho1,rho2,axes=0)计算：

np.einsum('ij,kl',rho1,rho2)

所以另一种获得正确答案的方法是使用：

np.einsum('ik,jl',rho1,rho2).reshape(5,5)

Answer 2

tensordot 文档确实说 axes=0 给出了张量积：

axes = 0 : tensor product :math:`a\otimes b`, 

数组的外积。但是您必须注意生成的尺寸是如何排列的。

但它说：

The shape of the result consists of the non-contracted axes of the
first tensor, followed by the non-contracted axes of the second.

使用axes=0，它实际上创建了rho2[:,:,None] 和rho3[:,None,:]，并在正常的dot 轴上求和。

In [37]: x=np.tensordot(rho2, rho3, 0)
In [38]: x.shape
Out[38]: (5, 5, 5, 5)

将其与einsum 与默认的“ijkl”输出进行比较：

In [40]: y=np.einsum('ij,kl',rho2,rho3)
In [41]: y.shape
Out[41]: (5, 5, 5, 5)
In [42]: np.allclose(x,y)
Out[42]: True

或dot 等效项：

In [44]: z=np.dot(rho2[:,:,None],rho3[:,None,:])
In [45]: np.allclose(x,z)
Out[45]: True

前两个维度来自rho2。

如果您真正想要的是kron，我们必须首先转置维度，将 2 个数组中的维度交错：

In [46]: K=np.kron(rho2,rho3)
In [47]: K.shape
Out[47]: (25, 25)
In [48]: np.trace?
In [49]: np.allclose(x.transpose(0,2,1,3).reshape(25,25),K)
Out[49]: True

测试跟踪：

In [50]: K.trace()
Out[50]: 1.0

einsum 也一样。注意索引的顺序：

In [53]: np.einsum('ij,kl->ikjl',rho2,rho3).reshape(25,25).trace()
Out[53]: 1.0

另一种看待这个问题的方法是从 4d 数组中提取 2d 对角线值：

In [60]: j = np.arange(5); i=j[:,None]
In [61]: x[i,i,j,j]
Out[61]: 
array([[0.1, 0.1, 0. , 0. , 0. ],
       [0.1, 0.1, 0. , 0. , 0. ],
       [0.1, 0.1, 0. , 0. , 0. ],
       [0.1, 0.1, 0. , 0. , 0. ],
       [0.1, 0.1, 0. , 0. , 0. ]])
In [62]: _.sum()
Out[62]: 1.0

只需重塑x，将这些值放在对角线上：

In [63]: x[i,j,i,j]
Out[63]: 
array([[0.1, 0. , 0. , 0. , 0. ],
       [0. , 0.1, 0. , 0. , 0. ],
       [0. , 0. , 0. , 0. , 0. ],
       [0. , 0. , 0. , 0. , 0. ],
       [0. , 0. , 0. , 0. , 0. ]])

等效于 2 步跟踪：

In [75]: x.trace(0,0,1)
Out[75]: 
array([[0.5, 0. , 0. , 0. , 0. ],
       [0. , 0.5, 0. , 0. , 0. ],
       [0. , 0. , 0. , 0. , 0. ],
       [0. , 0. , 0. , 0. , 0. ],
       [0. , 0. , 0. , 0. , 0. ]])
In [76]: x.trace(0,0,1).trace()
Out[76]: 1.0

Answer 3

np.tensordot 不是张量积，而是张量的点积。张量积类似于外积。