二进制代码上的约束计数集

Question

问题表述：给定一个长度为 l 的二进制代码，对于每 t 位集合 (l%t=0)，如果至少存在一位值为 1 的位，我们将结果加 1。

我的问题：如何有效地得到最终结果？

例如，我们有一个二进制代码010 110 000，并且 t=3。那么最终结果是 2。因为对于000，没有值 1 的位。对于 110，至少存在一位值 1。我们将结果加 1。对于 010，也存在一位值 1。我们将结果加 1。因此，最终结果为 2。

我的问题是如何有效地解决这个问题而不扫描每 t 位，这会导致时间复杂度与二进制代码的长度成线性关系。

对于计数集问题（计算二进制代码中有多少个 1），有一些算法需要恒定时间来解决它，方法是采用有限数量的掩码和移位操作，例如 MIT HAKMEM Count 算法。

但是，传统计数集问题的现有算法无法用于解决我的问题。

有人知道解决我问题的一些技巧吗？如果它使问题更容易解决，您可以假设输入二进制代码的最大长度。

Answer 1

来自comment：

那么对于这个问题，你可以假设输入是一个 64 位整数的二进制代码。

这里有两种不同的方法。

第一次运行在 O(I/t) 中并通过测试每个集合的所有 0 位来工作。

public static int countSets(int setSize, long bits) {
    Long mask = (1L << setSize) - 1;
    int count = 0;
    for (long b = bits; b != 0; b >>>= setSize)
        if ((b & mask) != 0)
            count++;
    return count;
}

第二次运行在 O(log I) 中，通过将集合的位折叠到集合的最右边位，然后计算位集合来工作。

public static int countSets(int setSize, int bitCount, long bits) {
    long b = bits, mask = 1;
    for (int i = 1; i < setSize; i++)
        b |= bits >>> i;
    for (int i = setSize; i < bitCount; i <<= 1)
        mask |= mask << i;
    return Long.bitCount(b & mask);
}

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进一步说明

第一种方法为集合构建掩码，例如使用t = 3，掩码为111。

然后将值向右移动，t 位一次，例如使用input = 010 110 000 和t = 3，你会得到：

mask = 111
b = 010 110 000  ->  b & mask = 000  ->  don't count
b =     010 110  ->  b & mask = 110  ->  count
b =         010  ->  b & mask = 010  ->  count
result: 2

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第二种方法首先将位合并到集合的最右边位，例如使用input = 010 110 000 和t = 3，你会得到：

bits      = 010 110 000
bits >> 1 = 001 011 000
bits >> 2 = 000 101 100
b (OR'd)  = 011 111 100

然后它构建一个仅检查最右边位的掩码，然后应用掩码并对设置的位进行计数：

mask     = 001 001 001
b & mask = 001 001 000
result: 2