很好地解释了为什么 x-1 “看起来” 像它在二进制中的方式答案

【问题标题】：Good explanation on why x-1 "looks" the way it does in binary很好地解释了为什么 x-1 “看起来” 像它在二进制中的方式
【发布时间】：2021-01-18 15:24:34
【问题描述】：

让我们取二进制数28：

0b11100     # 28

如果我们从数字中减去1，它看起来像这样：

0b11011     # 27

我如何解释它的“外观”是，当从一个数字中减去1 时，最右边的 1 位设置为零，之后的所有零都设置为 1。例如：

  0b10101 - 1
= 0b10100

  0b01000 - 1
= 0b00111

  0b10000000 - 1
= 0b01111111

对于为什么会发生这种情况，最好的解释是什么？我确信这是二进制补码的一个属性，但我正在尝试找出向自己解释这一点的最佳方法，以便我能够更深入地理解它。

【问题讨论】：

既然您已经看到了这种情况，还有什么要了解的？当它达到 1（然后被重置）时，借款停止，就是这样
@harold 是的...也许只是对为什么会发生这种情况的清晰解释，即如果左边的数字是 0，为什么 1 在借位时会向上波动，或者不是。我想我明白了，只是不太清楚为什么它会在我的脑海中发生。

标签： binary bit-manipulation twos-complement

【解决方案1】：

二进制数具有N = dn x b^n + dn-1 x b^n-1… d1 x b^1 + d0 x b^0 的一般形式，其中 b 是基数 (2)，d 是数字

我们写下没有 b 的二进制数（因为我们知道它总是 2），也没有它的 n 指数，它从 0 隐含地表示最低有效位（最右边），1 到最右边，等等。

例如你的数字 28 是 1x 2^4 + 1x 2^3 + 1x 2^2 + 0x 2^1 + 0x 2^0 = 1x 16 + 1x 8 + 1x 4 + 0x 2 + 0x 1。

二进制：

1 - 1 = 0
0 - 1 = 1，然后将 - 1 进位到左边的下一个位置（与十进制的 10 - 1 相同，0 - 1 是 9，进位 - 1 到十分之一）

当减去 1 时，您从最右边的位置开始，如果有 0，则将其变为 1 并将减法带到下一个（左侧）位置（并且一直向左链接，直到找到可以减去而不影响更高位置的位置位置）

0b01000 - 1 可以写成 0x 2^4 + 1x 2^3 + 0x 2^2 + 0x 2^1 + 0x 2^0 - 1 x 2^0。用简单的十进制表示，即 8 - 1 = 7，二进制表示 7 是 0x 2^4 + 0x 2^3 + 1x 2^2 + 1x 2^1 + 1x 2^0 (4 + 2 + 1)

【讨论】：

【解决方案2】：

无论你在什么基础上，数学都不会改变：

  1000 
- 0001
========

这是以 10 为底的，更容易看到：

  1  0  0  0 
- 0  0  0  1
=============

我们从个数列开始（以 0 为底），顶部的数字小于底部的数字，所以我们必须借用，但我们发现下一列没有任何内容，以此类推，所以我们必须继续工作，直到我们可以借一些东西，该值的基数大于它所在的列，所以如果你从数百列借入 10 列的 10 列，那么：

所以先借：

  0 10  0  0 
- 0  0  0  1
=============

第二次借用：

  0  9 10  0 
- 0  0  0  1
=============

第三次借用：

  0  9  9 10 
- 0  0  0  1
=============

现在我们可以将基础工作到一列的幂：

  0  9  9 10 
- 0  0  0  1
=============
           9

在这种情况下可以轻松完成：

  0  9  9 10 
- 0  0  0  1
=============
  0  9  9  9

所以基数为 5：

    1  0  0  0
 -  0  0  0  1
===================

    0  5  0  0
 -  0  0  0  1
===================

    0  4  5  0
 -  0  0  0  1
===================

    0  4  4  5
 -  0  0  0  1
===================


    0  4  4  5
 -  0  0  0  1
===================
    0  4  4  4

基数为 2：

   1  0  0  0
-  0  0  0  0 
==============

   0 10  0  0
-  0  0  0  0 
==============

   0  1 10  0
-  0  0  0  0 
==============

   0  1  1 10
-  0  0  0  0 
==============

   0  1  1 10
-  0  0  0  0 
==============
   0  1  1  1

当您在逻辑中实际实现这一点时，二进制补码就会发挥作用，我们从初级编程课程中知道，当我们谈论“二进制补码”时，我们会学习“反转和加一”来否定一个数字。我们从小学数学中知道 x - y = x + (-y) 所以：

     0
  1000
- 0001
=======

这与：

     1 <--- add one
  1000
+ 1110 <--- invert
=======

完成：

 10001
  1000
+ 1110
=======
  0111

因此，对于减法，您反转/一个补充第二个操作数和进位并将它们提供给加法器。一些架构反转进位并将其称为借用，有些则保持不变。正如我们在上面看到的那样这样做时，如果没有借位，则执行是 1。如果有借位，则为零。

我相信这只是因为只有 0 或 1，所以这是一个 base 2 的事情。你如何反转一个基数为 10 的数字？ 1000 - 1 = 1000 + 9998 + 1，嗯，确实可行。

所以底数 10 100 - 1 = 99，底数 9 100 - 1 = 88，底数 8（八进制）100 - 1 = 77，底数 7 100 - 1 = 66 等等。

【讨论】：