存储一个正整数需要多少位？答案

【问题标题】：How many bits do you need to store a positive integer?存储一个正整数需要多少位？
【发布时间】：2012-08-29 10:39:57
【问题描述】：

存储一个正整数（例如数十亿）需要多少位？您是否必须使用 log2 N 才能找出答案？

【问题讨论】：

【解决方案1】：

由于我已经多次看到错误报告的答案，所以我想我会发布正确的答案。

表示正整数n所需的位数为

bits = floor( log2(n) + 1 )

其中 log2 表示对数基数 2。

【讨论】：

这个解决方案给了我一个错误的结果，n = 18446744073709551615（等于x86_64 框中的n = pow(2, 8 * sizeof(unsigned long))），因为在这种情况下log2(n) = 64 和+ 1 过多。改用bits = ceil(log2(n)) 有什么缺点吗？
正如@selurvedu 指出的那样，尽管声称正确，但如果 n 是 2 的幂，则此答案是错误的。请改用 ceil(log2(n)) 。
@selurvedu, @superdweeble 你在说什么，为什么人们喜欢你的 cmets？ Math.log2(16).ceil 等于4，但我们需要5，所以Math.log2(16).floor + 1 是对的。 Math.log2((1 << 64) - 1) 等于 64，因为精度不够。
@puchu 是对的，更喜欢答案，请不要再为前两个 cmets 投票
这个答案是错误的。有关正确答案及其推导（证明），请参阅this answer below。例如，在 Python 中：bits_reqd_for_num = math.ceil(math.log2(num+1))

【解决方案2】：

是的。存储在 k 位中的最大数量是 2^k-1，因为这些位有 2^k 个选项，其中一个是零。
因此，存储一个数 N 所需的位数是 log2(N)，但由于没有半位，因此需要将其四舍五入到上面最接近的整数。

注意：如果需要包含负数，则符号必须多一位。

【讨论】：

【解决方案3】：

只是添加到上一个答案中，您可以使用任何对数基数计算出在数学上表示一个数字 N 需要多少位。例如，假设我想知道表示数字 12345 需要多少位，但我的计算器只知道 ln（自然对数）。

所以，

2^b = 12345

取双方的ln。

ln(2^b) = ln(12345)

当然，数字对指数的对数是指数乘以仅底数的对数，所以，

b*ln(2) = ln(12345)

两边除以ln(2)，

b = ln(12345) / ln(2)

当然，正如另一个答案中所述，您需要将此结果四舍五入，因为要表示某个数字，您需要 2^b 等于或大于该数字。

所以，

b = ceil(ln(12345) / ln(2))

其中ceil(f) 将f 向上舍入到最接近的整数。

使用上述过程，您可以使用任何日志库logb，即，找到任何数字N所需的位数，即，

b = ceil(logb(N) / logb(2))

【讨论】：