如何将表示十进制数的字符串转换为表示其二进制形式的字符串？

Question

以字符串s="556852144786" 为例，它表示十进制数n=556852144786。是否有直接算法将其转换为s1="1000000110100110..."，其中1000000110100110... 是n 的二进制表示？

Answer 1

我假设您正在寻找一种直接对字符串进行操作的算法，而不是转换为目标语言支持的任何整数并使用它们？

有多种方法可以做到这一点。这里有两个，但如果你眯着眼睛看的话，它们几乎是相同的算法。

方法一：将十进制字符串反复除以二

在这种方法中，我们重复地将原始十进制字符串除以 2（使用十进制算术），并跟踪余数：这些余数以相反的顺序为您提供结果的位。 这是该算法在 Python 中的样子。它缺少is_nonzero 和divide_by_two 的定义。我们稍后会提供这些。

def dec_to_bin(s):
    """
    Convert decimal string s to binary, using only string operations.
    """
    bits = ""
    while is_nonzero(s):
        s, bit = divide_by_two(s)
        bits += bit
    # The above builds up the binary string in reverse.
    return bits[::-1]

该算法以相反的顺序生成位，所以我们需要一个最终的反转来给出生成的二进制字符串。

divide_by_two 函数采用十进制字符串 s 并返回一个新的十进制字符串，表示商 s / 2 以及余数。余数是单个位，再次表示为字符串 - "0" 或 "1"。它遵循通常的逐位学校教授的从左到右的除法方法：每一步都涉及将一个数字以及从上一步引入的进位除以二。这是那个函数：

def divide_by_two(s):
    """
    Divide the number represented by the decimal string s by 2,
    giving a new decimal string quotient and a remainder bit.
    """
    quotient = ""
    bit = "0"
    for digit in s:
        quotient_digit, bit = divide_digit_by_two(bit, digit)
        quotient += quotient_digit
    return quotient, bit

我们还需要定义divide_digit_by_two，它接受一个数字加上一个十进位位，然后除以二得到一个数字商和一个位余数。此时，所有输入和输出都是长度为 1 的字符串。在这里我们作弊并使用整数运算，但只有 20 种可能的不同输入组合，因此我们可以轻松地使用查找表来代替。

def divide_digit_by_two(bit, digit):
    """
    Divide a single digit (with tens carry) by two, giving
    a digit quotient and a single bit remainder.
    """
    digit, bit = divmod(int(bit) * 10 + int(digit), 2)
    return str(digit), str(bit)

您可以将divide_digit_by_two 视为一种原始算术运算，它交换不同基数的两位数：它将以10 * bit + digit 表示的小于20 的非负整数转换为以@987654335 表示的相同值@。

我们仍然缺少一个定义：is_nonzero。当且仅当十进制字符串完全由零组成时，十进制字符串才表示零。这是一个快速的 Python 测试。

def is_nonzero(s):
    """
    Determine whether the decimal string s represents zero or not.
    """
    return s.strip('0') != ''

现在我们已经准备好所有的位，我们可以测试了：

>>> dec_to_bin("18")
'10010'
>>> dec_to_bin("556852144786")
'1000000110100110111110010110101010010010'
>>> format(556852144786, 'b')  # For comparison
'1000000110100110111110010110101010010010'

方法2：将二进制字符串反复乘以10

这是第一种方法的变体：我们不是重复除法，而是逐位（从左到右）处理传入的十进制字符串。我们从一个表示值0 的空二进制字符串开始，每次处理一个数字时，我们乘以10（在二进制表示中）并加上该数字表示的值。和以前一样，最方便的方法是按照 little-endian 顺序（最低有效位在前）构建二进制字符串，然后在最后反转以获得传统的 big-endian 表示。这是顶级函数：

def dec_to_bin2(s):
    """
    Convert decimal string s to binary, using only string operations.

    Digit-by-digit variant.
    """
    bits = ""
    for digit in s:
        bits = times_10_plus(bits, digit)
    return bits[::-1]

times_10_plus 函数的工作是获取一个二进制字符串和一个数字，并生成一个新的二进制字符串，表示将原始值乘以十，再将二进制数字的值相加的结果。它看起来像这样：

def times_10_plus(bits, digit):
    """
    Multiply the value represented by a binary string by 10, add a digit,
    and return the result as a binary string.
    """
    result_bits = ""
    for bit in bits:
        digit, result_bit = divide_digit_by_two(bit, digit)
        result_bits += result_bit
    while digit != "0":
        digit, result_bit = divide_digit_by_two("0", digit)
        result_bits += result_bit
    return result_bits

请注意，我们使用完全与以前相同的算术原语divide_digit_by_two，但现在我们的想法略有不同：它将一位乘以十，并添加一个进位数字, 并将其转换为一个新位（结果的最低有效位）以及一个新的进位数字。

效率说明

为了清楚起见，我留下了一些 Python 级别的低效率问题。特别是，在构建字符串时，构建一个位或数字列表，然后在最后与 str.join 操作连接会更有效。另请注意，根据实现语言，就地修改数字字符串或位字符串可能更有意义，而不是在每一步生成新字符串。我将必要的更改留给您。